二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
共6491题

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
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题型：单选题

单选题

设O为坐标原点，点M的坐标为（2，1），若点N（x，y）满足不等式组，则使||取得最大值的点N的个数是（　　）

A无数个

正确答案

解析

解：不等式组对应的平面区域如图：

由图得，当点N（x，y）位于平面区域的上顶点（1，10）时，||取最大值=．

即只有一个点使|取得最大值．

故选B．

题型：单选题

单选题

若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积是（　　）

正确答案

解析

解：∵a≥0，b≥0

t=ax+by最大值在区域的右上取得，即一定在点（0，1）或（1，0）取得，

故有by≤1恒成立或ax≤1恒成立，

∴0≤b≤1或0≤a≤1，

∴以a，b为坐标点P（a，b）所形成的平面区域是一个正方形，

所以面积为1．

故选C．

题型：单选题

单选题

已知由不等式组确定的平面区域M的面积为7，定点A的坐标为（1，-2），若B∈M，O为坐标原点，则•的最小值是（　　）

A-4

B-6

C-7

D-8

正确答案

解析

解：依题意画出不等式组所表示的平面区域（如右图所示）

可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，

由直线y=kx+2恒过点B（0，2），且原点的坐标恒满足y-kx≤2，

当k=0时，y≤2，此时平面区域M的面积为6，

由于6＜7，由此可得k＜0．

由可得D（，），

依题意应有×2×||=1，因此k=-1（k=3，舍去）．

故有D（-1，3），

设B（x，y），

由z=•，可化为y=x-z，

∵＜1，

∴当直线y=x-z过点D时，截距-z最大，即z取得最小值-7；

故选：C．

题型：简答题

简答题

配置A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料如表（单位：克）．若药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂可获利为20元、30元，现有甲原料20克，乙原料25克．

（1）列出上述的数学关系式，并画出对应的平面区域；

（2）设获利为Z元，求获得的最大利润．

正确答案

解：（1）设药剂A、B分别配x剂、y剂，则，作出可行域如图中阴影部分

（2）目标函数为z=20x+30y，则

平行移动直线t=20x+30y（t为参数）．

经过点A（4，3）时，zmax=20×4+30×3=170（元）

解析

解：（1）设药剂A、B分别配x剂、y剂，则，作出可行域如图中阴影部分

（2）目标函数为z=20x+30y，则

平行移动直线t=20x+30y（t为参数）．

经过点A（4，3）时，zmax=20×4+30×3=170（元）

题型：简答题

简答题

若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，求以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积．

正确答案

解：作出线性约束条件对应的可行域如图所示，

在此条件下，要使ax+by≤1恒成立，只要ax+by的最大值不超过1即可．

令z=ax+by，则y=-x+．

∵a≥0，b≥0，

∴若①-1＜-≤0时（如图1），此时直线y=-x+经过点A（0，1）时，

直线y=-x+的截距最大，对应的z也最大，将（0，1）代入z=ax+by得b≤1，

若②-≤-1时（如图2），此时直线y=-x+经过点B（1，0）时，

直线y=-x+的截距最大，对应的z也最大，将（1，0）代入z=ax+by得a≤1．

即，此时对应的可行域如图，

∴以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的面积为1．

解析

解：作出线性约束条件对应的可行域如图所示，

在此条件下，要使ax+by≤1恒成立，只要ax+by的最大值不超过1即可．

令z=ax+by，则y=-x+．

∵a≥0，b≥0，

∴若①-1＜-≤0时（如图1），此时直线y=-x+经过点A（0，1）时，

直线y=-x+的截距最大，对应的z也最大，将（0，1）代入z=ax+by得b≤1，

若②-≤-1时（如图2），此时直线y=-x+经过点B（1，0）时，

直线y=-x+的截距最大，对应的z也最大，将（1，0）代入z=ax+by得a≤1．

即，此时对应的可行域如图，

∴以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的面积为1．

题型：简答题

简答题

设f（x）=x2-6x+5，不等式组表示的区域为A，

（1）在区域A中任取一点（x，y），求z=的取值范围；

（2）平面上有一定点O（3，3），若一动点M满足|OM|≤2，求点M落入区域A内的概率．

正确答案

解：（1）f（x）=x2-6x+5，不等式组

化为：，

即：，表示的可行域如图：

z==，令t=，t∈[k1，k2]，，k2=5，

∴t．

∴≥2，当且仅当t=1（1）时取等号，

z的最大值在t=与t=5中取得，

t=与t=5时，z=，

∴z．

（2）设M（x，y），∵|OM|，

∴（x-3）2+（y-3）2≤8

点M（x，y）所在的区域是以（3，3）为圆心的半径为2，的圆面，

∴P====．

解析

解：（1）f（x）=x2-6x+5，不等式组

化为：，

即：，表示的可行域如图：

z==，令t=，t∈[k1，k2]，，k2=5，

∴t．

∴≥2，当且仅当t=1（1）时取等号，

z的最大值在t=与t=5中取得，

t=与t=5时，z=，

∴z．

（2）设M（x，y），∵|OM|，

∴（x-3）2+（y-3）2≤8

点M（x，y）所在的区域是以（3，3）为圆心的半径为2，的圆面，

∴P====．

题型：单选题

单选题

设x，y满足约束条件，则取值范围是（　　）

A[1，5]

B[2，6]

C[3，10]

D[3，11]

正确答案

解析

解：根据约束条件画出可行域，

∵设k==1+，

整理得（k-1）x-2y+k-3=0，由图得，k＞1．

设直线l0=（k-1）x-2y+k-3，

当直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，

当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3．

故选 D．

题型：填空题

填空题

在约束条件下，z=4-2x+y的最大值是______．

正确答案

解析

解：满足约束条件的平面区域如图示：．

由图得．当x=0，y=2即为于点A（0.2）时，

z=4-2x+y有最大值6．

故答案为6．

题型：简答题

简答题

在平面区域{（x，y）||x|≤1，|y丨≤1}上恒有ax-2by≤2．

（1）求P（a，b）所形成平面区域的面积；

（2）求z=的取值范围．

正确答案

解：（1）令z=ax-2by，

∵ax-2by≤2恒成立，

即函数z=ax-2by在可行域要求的条件下，zmax=2恒成立．

当直线ax-2by-z=0过点（1，1）或点（1，-1）或（-1，1）或（-1，-1）时，有：．

点P（a，b）形成的图形是图中的菱形MNTS．

∴所求的面积S=2××4×1=4．

（2）z=表示菱形内的各点与点（-3，3）连接的直线的斜率，由（1）得z=的最小值为=-3，最大值为，

所以z=的取值范围是[-3，-]．

解析

解：（1）令z=ax-2by，

∵ax-2by≤2恒成立，

即函数z=ax-2by在可行域要求的条件下，zmax=2恒成立．

当直线ax-2by-z=0过点（1，1）或点（1，-1）或（-1，1）或（-1，-1）时，有：．

点P（a，b）形成的图形是图中的菱形MNTS．

∴所求的面积S=2××4×1=4．

（2）z=表示菱形内的各点与点（-3，3）连接的直线的斜率，由（1）得z=的最小值为=-3，最大值为，

所以z=的取值范围是[-3，-]．

题型：单选题

单选题

已知实数x，y满足条件，则z=x+3y的最小值是（　　）

B-

C12

D-12

正确答案

解析

解：画出可行域

将z=x+3y变形为y=，由图知当直线过A（）时，z最小为

故选B

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