二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
共6491题

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
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题型：填空题

填空题

（2015秋•上饶校级期中）若实数x、y满足不等式组，则z=x+2y的取值范围是______．

正确答案

解析

解：由约束条件作出可行域如图，

A（1，0），

联立，解得B（），

化目标函数z=x+2y为，

由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1；

当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．

故答案为：．

题型：单选题

单选题

若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（　　）

A[0，6]

B[1，6]

C[1，5]

D[0，5]

正确答案

解析

解：作出不等式组对应的平面区域如图：

设z=2x+y得y=-2x+z，

平移直线y=-2x+z，

由图象可知当直线y=-2x+z经过点A（0，1）时，直线的截距最小，

此时z最小，为z=0+1=1，

当直线y=-2x+z经过点C时，直线的截距最大，

此时z最大，

由，解得，

即C（2，1），此时z=2×2+1=5，

即1≤z≤5，

故选：C．

题型：单选题

单选题

已知2≤x≤3，2x-1≤y≤2x，则的最小值为（　　）

正确答案

解析

解：作出2≤x≤3，2x-1≤y≤2x的可行域

表示可行域中的点与（0，0）连线的斜率，由图知（2，3）与（0，0）的连线斜率最小为

故选C

题型：简答题

简答题

已知求：

（Ⅰ）z=x+2y-4的最大值；

（Ⅱ）z=x2+y2-10y+25的最小值；

（Ⅲ）z=的范围．

正确答案

解：（Ⅰ）作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．

易知可行域内各点均在直线x+2y-4=0的上方，故x+2y-4＞0，

将点C（7，9）代入z得最大值为21．（红线部分）

（Ⅱ）z=x2+y2-10y+25=x2+（y-5）2表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，

过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，

故z的最小值是|MN|2=．（绿线部分）

（Ⅲ）z==的几何意义表示为区域内的动点P（x，y）与定点D（-1，）连线斜率的2倍．

由图象可知DB的斜率最大为k=，

DA的斜率最小为k=，

即，

即，（蓝色线部分）

即z的取值范围是[]．

解析

解：（Ⅰ）作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．

易知可行域内各点均在直线x+2y-4=0的上方，故x+2y-4＞0，

将点C（7，9）代入z得最大值为21．（红线部分）

（Ⅱ）z=x2+y2-10y+25=x2+（y-5）2表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，

过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，

故z的最小值是|MN|2=．（绿线部分）

（Ⅲ）z==的几何意义表示为区域内的动点P（x，y）与定点D（-1，）连线斜率的2倍．

由图象可知DB的斜率最大为k=，

DA的斜率最小为k=，

即，

即，（蓝色线部分）

即z的取值范围是[]．

题型：简答题

简答题

已知x，y满足约束条件，求下列函数z的最值．

（1）z=；

（2）z=|x+2y-4|．

正确答案

解：不等式组对应的平面区域如图

（1）表示可行域内任一点（x，y）与定点P（-2，-1）连线的斜率．

由图可知，kPE≤k≤kPC．

由得E（1，0）．由得D（2，3）

∴kPE=，kPC=，故z的最小值为，最大值为．

（2）由图可知z=x+2y-4过E时最小为-3，过D时最大为4，

所以z=|x+2y-4|最小值为0，最大值为4．

解析

解：不等式组对应的平面区域如图

（1）表示可行域内任一点（x，y）与定点P（-2，-1）连线的斜率．

由图可知，kPE≤k≤kPC．

由得E（1，0）．由得D（2，3）

∴kPE=，kPC=，故z的最小值为，最大值为．

（2）由图可知z=x+2y-4过E时最小为-3，过D时最大为4，

所以z=|x+2y-4|最小值为0，最大值为4．

题型：单选题

单选题

已知变量x、y满足的约束条件为，且目标函数为z=x+y，则z的最大值是（　　）

B-1

C-2

正确答案

解析

解：根据约束条件画出可行域，

由图可知，目标函数为z=x+y在右边界处取到最大值，

在边界上任取一点A（，），

∴直线z=x+y过点A（，）时，

z最大值1，

即目标函数z=x+y的最大值为1，

故选D．

题型：填空题

填空题

若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为______．

正确答案

解析

解：由约束条件，画出可行域如图：是一个点A，

因为z=2x+y，

将最大值转化为y轴上的截距，

当直线z=2x+y经过的交点A（1，1）时，z最大，

最大值为：3，

故答案为：3

题型：单选题

单选题

已知实数x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y（　　）

A有最小值3，最大值9

B有最小值9，无最大值

C有最小值8，无最大值

D有最小值3，最大值8

正确答案

解析

解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），

由z=2x+y，得y=-2x+z，

平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最小，此时z最小．无最大值．

由，解得，

即A（2，4）．

此时z的最小值为z=2×2+4=8，

故选：C．

题型：单选题

单选题

若变量x，y满足约束条件，则z=3x+5y的最小值为（　　）

B-9

C-8

正确答案

解析

解：不等式组对应的平面区域如图：

由z=3x+5y得y=，平移直线y=，

则由图象可知当直线y=经过点A时直线y=的截距最小，

此时z最小，

由，解得，即A（-1，-1），

此时z=3×（-1）+5×（-1）=-8，

故选：C．

题型：填空题

填空题

设实数x，y满足不等式组，则z=x-2y的最小值是______．

正确答案

解析

解：约束条件对应的平面区域如下图示：

由得：A（，）；

故当直线z=x-2y过A（，）时，Z取得最小值．

故答案为：．

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