热门试卷

（1）证明：∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，

相加可得 2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca），

∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c时，取等号）．

（2）证明：∵a，b，m∈R+，且b＜a，要证，只要证 b（a+m）＜a（b+m），

只要证bm＜am，即证 b＜a．

而b＜a为已知条件，故要证的不等式成立．

（Ⅰ）解：由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积，故n个不同位置的“旋转和”的和为1×（1+2+…+n）+2×（1+2+…+n）+…+n×（1+2+…+n）=；  …（3分）

（Ⅱ）解：设内盘中的1和外盘中的k同扇形格时的“旋转和”为ak

则ak+1=1×（k+1）+2×（k+2）+…+（n-k）×n+（n-k+1）×1+…+n×kak

=1×k+2×（k+1）+…+（n-k）×（n-1）+（n-k+1）×n+…+n×（k-1）ak+1-ak

=1+2+…+（n-k）+（1-n）（n-k+1）+（n-k+2）+…+n

=…（5分）

所以当时，ak+1＜ak，当时，ak+1＞ak，所以时，最小

最小值==；…（8分）

（Ⅲ）证明：将图中所有非0数改写为1，现假设任意位置，总存在一个重叠的扇形格中两数同时为0，则此位置的“旋转和”必大于或等于2m+1，初始位置外的4m-1个位置的“旋转和”的和为（3m）2-3m，

则有（3m）2-3m≥（2m+1）（4m-1），即，

这与m≤4矛盾，故命题得证．…（12分）

证明：∵a，b，m∈R+，∴b，b+m∈R+

要证

只需证b（a+m）＞a（b+m）…（5分）

只需证ba+bm＞ab+am

只需证bm＞am

又m∈R+∴只需证b＞a…（11分）

由题设可知b＞a显然成立，所以得证   …（13分）

证明：若证pf（x1）+qf（x2）≤f（px1+qx2），

只需证，

只需证，

只需证，

只需证，

只需证，

只需证，上式显然成立，

所以原不等式成立．