热门试卷

证明：（Ⅰ）欲证：|f（x）-f（2）|＜|x-2|，

只需证明|+-|＜|x-2|，

只需证明||＜|x-2|，

只需证明||＜1，

只需证明|x-2|＜2[（x-1）2+1]，

只需证明|x-2|＜[（x-1）2+1]+[（x-1）2+1]，

只需证明|x-1|+1＜[（x-1）2]+|x-1|+|x-1|2+，

只需证明0＜（x-1）2+|x-1|2+，

而0＜（x-1）2+|x-1|2+是恒成立的，

所以|f（x）-f（2）|＜|x-2|．--------------------------------8

（Ⅱ）由上式|f（x）-f（2）|＜|x-2|有|2an+1-an-2|＜|an-2|，

所以|2an+1-4-an+2|＜|an-2|．

有|2an+1-4|-|an-2|＜|an-2|．

而|an+1-2|＜|an-2|．

即|an-2|＜|an-1-2|＜…＜|a1-2|≤1．

∴1≤an≤3．-----------------------------14

证明：∵a＞b＞0，∴，

令=x＞1，

则证明：＜ln＜．即证明：1-＜lnx＜x-1．

先证明右边：令f（x）=lnx-x+1，x∈（1，+∞）．

f′（x）=-1=＜0，

∴函数f（x）在x∈（1，+∞）单调递减，

∴f（x）＜f（1）=0，

∴lnx＜x-1成立．

再证明左边：令g（x）=lnx+-1，x∈（1，+∞）．

g′（x）=-=＞0，

∴函数g（x）在x∈（1，+∞）单调递增，

∴f（x）＞f（1）=0，

∴lnx＞1-成立．

综上可得：1-＜lnx＜x-1．

即＜ln＜．

证明：（1）∵（x2-y2）（x+y）-（x2+y2）（x-y）=（x-y）[（x+y）2-（x2+y2）]=（x-y）×2xy；

又x＞y＞0，

∴x-y＞0，xy＞0，

∴（x-y）×2xy＞0，

∴（x2-y2）（x+y）＞（x2+y2）（x-y）；

（2）要证aabb＞，

需证•=•=＞1；

∵a＞0，b＞0，a≠b，

∴当a＞b＞0时，＞1，＞0，由指数函数y=ax（a＞1）的性质可知，＞1；

当b＞a＞0时，0＜＜1，＜0，由指数函数y=ax（0＜a＜1）的性质可知，＞1；

综上所述，当a＞0，b＞0，a≠b时，＞1成立；

故原结论成立，即a＞0，b＞0，a≠b，则aabb＞．

证明：∵x1，x2，x3为正实数，

∴，，，

∴三式相加，可得+x3≥2（x1+x2+x3），

∵若x1+x2+x3=1，∴．