综合法与分析法证明不等式
共468题

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综合法与分析法证明不等式
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题型：简答题

简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：

（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；

（Ⅱ）AC=AE．

正确答案

证明：（I）∵AC与⊙O‘相切于点A，故∠CAB=∠ADB，

同理可得∠ACB=∠DAB，

∴△ACB∽△DAB，∴=，

∴AC•BD=AD•AB．

（II）∵AD与⊙O相切于点A，∴∠AED=∠BAD，

又∠ADE=∠BDA，∴△EAD∽△ABD，

∴=，∴AE•BD=AD•AB．

再由（I）的结论AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．

解析

证明：（I）∵AC与⊙O‘相切于点A，故∠CAB=∠ADB，

同理可得∠ACB=∠DAB，

∴△ACB∽△DAB，∴=，

∴AC•BD=AD•AB．

（II）∵AD与⊙O相切于点A，∴∠AED=∠BAD，

又∠ADE=∠BDA，∴△EAD∽△ABD，

∴=，∴AE•BD=AD•AB．

再由（I）的结论AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．

题型：简答题

简答题

已知a1，a2∈R+且a1•a2=1，求证：（1+a1）（1+a2）≥4．

正确答案

证明：∵a1，a2∈R+且a1•a2=1，

∴（1+a1）（1+a2）=1+a1a2+a1+a2=2+a1+a2≥2+2=4

∴命题成立．

解析

证明：∵a1，a2∈R+且a1•a2=1，

∴（1+a1）（1+a2）=1+a1a2+a1+a2=2+a1+a2≥2+2=4

∴命题成立．

题型：简答题

简答题

（1）求证：+1＜2；

（2）求证：-＜-，其中a≥3．

正确答案

证明：（1）要证+1＜2，

只要证4+2＜8，

即为2＜4，即12＜16显然成立，

故+1＜2；

（2）要证-＜-，其中a≥3．

只要证＜，

即为＜，

即有+＞+，

由＞，＞，

则上式显然成立．

故-＜-，其中a≥3．

解析

证明：（1）要证+1＜2，

只要证4+2＜8，

即为2＜4，即12＜16显然成立，

故+1＜2；

（2）要证-＜-，其中a≥3．

只要证＜，

即为＜，

即有+＞+，

由＞，＞，

则上式显然成立．

故-＜-，其中a≥3．

题型：简答题

简答题

设，

（1）证明不等式对所有的正整数n都成立；

（2）设，用定义证明

正确答案

证：（1）由不等式

对所有正整数k成立，把它对k从1到n（n≥1）求和，

得到1+2+3+…+n＜an＜

又因1+2+3+…+n=，以及

＜[1+3+5+…+（2n+1）]=，

对所有的正整数n都成立．

（2）由（1）及bn的定义知

对任意指定的正数ε，要使，

只要使，即只要使

取N是的整数部分，则数列bn的第N项以后所有的项都满足

根据极限的定义，证得

解析

证：（1）由不等式

对所有正整数k成立，把它对k从1到n（n≥1）求和，

得到1+2+3+…+n＜an＜

又因1+2+3+…+n=，以及

＜[1+3+5+…+（2n+1）]=，

对所有的正整数n都成立．

（2）由（1）及bn的定义知

对任意指定的正数ε，要使，

只要使，即只要使

取N是的整数部分，则数列bn的第N项以后所有的项都满足

根据极限的定义，证得

题型：简答题

简答题

设a，b，c∈R+，且a+b+c=3，证明：++≥．

正确答案

证明：∵+b2+c≥2a2，+c2+a≥2b2，+a2+b≥2c2，

相加，移项可得++≥（a2+b2+c2）-（a+b+c），

∵a+b+c=3，a2+b2+c2≥（a+b+c）2，

∴++≥（a=b=c时取等号）．

解析

证明：∵+b2+c≥2a2，+c2+a≥2b2，+a2+b≥2c2，

相加，移项可得++≥（a2+b2+c2）-（a+b+c），

∵a+b+c=3，a2+b2+c2≥（a+b+c）2，

∴++≥（a=b=c时取等号）．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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