- 综合法与分析法证明不等式
- 共468题
求证：x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．
正确答案
证明：|x-1|≤4|x3-1||x-1|≤4|（x-1）（x2+x+1）||x-1|≤4|x-1||（x2+x+1）|
x=1时，左式=右式=0，符合题意；
x≠1时，x2+x+1=（x+
综上，x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．
解析
证明：|x-1|≤4|x3-1||x-1|≤4|（x-1）（x2+x+1）||x-1|≤4|x-1||（x2+x+1）|
x=1时，左式=右式=0，符合题意；
x≠1时，x2+x+1=（x+
综上，x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．
已知a，b，c均为正实数，且满足abc=1，证明：
（1）a+b+c≥
（2）a2+b2+c2≥
正确答案
证明：∵a，b，c∈R+
∴a+b≥2
∴2a+2b+2c≥2
∴a+b+c≥
∵abc=1，
∴a+b+c≥
（2）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，
∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，
∵ab+bc+ac=
∴a2+b2+c2≥
解析
证明：∵a，b，c∈R+
∴a+b≥2
∴2a+2b+2c≥2
∴a+b+c≥
∵abc=1，
∴a+b+c≥
（2）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，
∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，
∵ab+bc+ac=
∴a2+b2+c2≥
设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．求证：
（1）ab+bc+ac≤
（2）
正确答案
解析
证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，
得a2+b2+c2≥ab+bc+ac，由（a+b+c）2=1，
得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，
所以3（ab+bc+ac）≤1，
所以（ab+bc+ac）≤
（2）由
累加可得，
即
所以
求证：（1+
正确答案
证明：设f（x）=ln（1+x2）-x，
则f′（x）=
可得函数f（x）在R上单调递减．
当x＞0时，f（x）＜f（0），
所以ln（1+x2）-x＜0，即ln（1+x2）＜x．
所以ln（1+
=ln（1+
＜
=1-
所以（1+
解析
证明：设f（x）=ln（1+x2）-x，
则f′（x）=
可得函数f（x）在R上单调递减．
当x＞0时，f（x）＜f（0），
所以ln（1+x2）-x＜0，即ln（1+x2）＜x．
所以ln（1+
=ln（1+
＜
=1-
所以（1+
（1）求证：1+
（2）求证：
（3）求证：
（4）求证：2（
正确答案
证明：（1）当n≥2时，
∴1+
∴1+
（2）当n≥2时，
∴
（3）∵
T=
∴
∴
（4）先证明左边：∵
∴1+
证明右边：∵
∴1+
综上可得：2（
解析
证明：（1）当n≥2时，
∴1+
∴1+
（2）当n≥2时，
∴
（3）∵
T=
∴
∴
（4）先证明左边：∵
∴1+
证明右边：∵
∴1+
综上可得：2（
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