· 综合法与分析法证明不等式

综合法与分析法证明不等式
共468题

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1

题型：单选题

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单选题

若不等式（-1）na＜2+对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A[-2，）

B（-2，）

C[-3，）

D（-3，）

正确答案

A

解析

解：当n为正偶数时，

a＜2-恒成立，又2-为增函数，其最小值为2-=

∴a＜．

当n为正奇数时，-a＜2+，即a＞-2-恒成立．

而-2-为增函数，对任意的正整数n，有-2-＜-2，

∴a≥-2．

故a∈[-2，）．

1

题型：单选题

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单选题

若，则下列不等式：

①a+b＜ab

②|a|＞|b|

③a＜b

④中，

正确的不等式有（　　）

A①②

B①④

C②③

D③④

正确答案

B

解析

解：取a=-，b=-1代入验证知②，③错误．

①证明：∵＜＜0，

∴a＜0，b＜0，

∴ab＞0，a+b＜0，

∴a+b＜ab，故①正确；

④证明：∵＞0，＞0，且a≠b，

由均值不等式得 +＞2，

故④正确；

故正确的不等式有为①④．

故选B．

1

题型：简答题

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简答题

已知a，b，c是正常数，且a，b，c互不相等，x，y，z∈（0，+∞），求证：++≥，并指出等号成立的条件．

正确答案

证明：令=（x，y，z），=（），

则=x+y+z=a+b+c，

||2=x2+y2+z2，||2=++，

由||2•||2≥||2，

则有（x2+y2+z2）（++）≥（a+b+c）2，

即有++≥．

当且仅当a：b：c=x2：y2：z2，不等式取等号．

解析

证明：令=（x，y，z），=（），

则=x+y+z=a+b+c，

||2=x2+y2+z2，||2=++，

由||2•||2≥||2，

则有（x2+y2+z2）（++）≥（a+b+c）2，

即有++≥．

当且仅当a：b：c=x2：y2：z2，不等式取等号．

1

题型：简答题

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简答题

已知：|a|≥1，x∈R．

求证：|x-1+a|+|x-a|≥1．

正确答案

证明：∵|m|+|n|≥|m-n|，

∴|x-1+a|+|x-a|≥|x-1+a-x+a|=|2a-1|≥2|a|-1，

∵|a|≥1，

∴2|a|-1≥1，

∴|x-1+a|+|x-a|≥1．

解析

证明：∵|m|+|n|≥|m-n|，

∴|x-1+a|+|x-a|≥|x-1+a-x+a|=|2a-1|≥2|a|-1，

∵|a|≥1，

∴2|a|-1≥1，

∴|x-1+a|+|x-a|≥1．

1

题型：简答题

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简答题

已知定义y=log（x+1）F（x，y），若e＜x＜y，证明：F（x-1，y）＞F（y-1，x）

正确答案

证明：∵y=log（x+1）F（x，y），

∴F（x，y）=（1+x）y，

∴F（x-1，y）=xy，F（y-1，x）=yx，

依题意，问题转化为证明xy＞yx，

即证ylnx＞xlny，即证＞，

记h（x）=，则h′（x）=，

∵当x＞e时，h′（x）＞0，

∴函数h（x）在区间（e，+∞）上单调递减，

又∵e＜x＜y，

∴h（x）＞h（y），

即F（x-1，y）＞F（y-1，x）．

解析

证明：∵y=log（x+1）F（x，y），

∴F（x，y）=（1+x）y，

∴F（x-1，y）=xy，F（y-1，x）=yx，

依题意，问题转化为证明xy＞yx，

即证ylnx＞xlny，即证＞，

记h（x）=，则h′（x）=，

∵当x＞e时，h′（x）＞0，

∴函数h（x）在区间（e，+∞）上单调递减，

又∵e＜x＜y，

∴h（x）＞h（y），

即F（x-1，y）＞F（y-1，x）．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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