- 综合法与分析法证明不等式
- 共468题
以下方法不能用于证明不等式的是（ ）
正确答案
解析
解：随机抽样法是抽样的一种方法，不能用于证明不等式；比较法、综合法、分析法是直接证明不等式的方法，反证法是间接证明不等式的方法．
故选B．
（1）已知x，y，z∈R，且x+y+z=8，x2+y2+z2=24，求证：
（2）已知a1，b1，x1，x2∈R+，ab=1，x1+x2=2，求证：（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥4
（3）已知
正确答案
证明：（1）∵x，y，z∈R，x+y+z=8，x2+y2+z2=24，∴y+z=8-x，y2+z2=24-x2．
又由柯西不等式可知（y2+z2）（1+1）≥（y+z）2，即（24-x2）（1+1）≥（8-x）2，
化简后可得
（2）∵a1，b1，x1，x2∈R+，ab=1，x1+x2=2，
∴
∴（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥4．
（3）∵a．b．c．d∈R+a+b+c+d=1，
∴
解析
证明：（1）∵x，y，z∈R，x+y+z=8，x2+y2+z2=24，∴y+z=8-x，y2+z2=24-x2．
又由柯西不等式可知（y2+z2）（1+1）≥（y+z）2，即（24-x2）（1+1）≥（8-x）2，
化简后可得
（2）∵a1，b1，x1，x2∈R+，ab=1，x1+x2=2，
∴
∴（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥4．
（3）∵a．b．c．d∈R+a+b+c+d=1，
∴
（选修4-5：不等式选讲）设f（x）=x2-x+l，实数a满足|x-a|＜l，求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1．
正确答案
证明：∵f（x）=x2-x+1，|x-a|＜l，
∴|f（x）-f（a）|=|x2-x-a2+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|，
又|x+a-1|=|（x-a）+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1），
∴：|f （x）-f （a）|＜2（|a|+1）成立．
解析
证明：∵f（x）=x2-x+1，|x-a|＜l，
∴|f（x）-f（a）|=|x2-x-a2+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|，
又|x+a-1|=|（x-a）+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1），
∴：|f （x）-f （a）|＜2（|a|+1）成立．
设a，b，c，d∈R，求证：
（1）
（2）|
正确答案
证明：（1）设
则由向量模的性质：|
则有
（2）设
则由向量模的性质：||
则有|
解析
证明：（1）设
则由向量模的性质：|
则有
（2）设
则由向量模的性质：||
则有|
（2015秋•淮安期末）设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+
正确答案
证明：由题设x＞y，可得x-y＞0；
∵2x+
又（x-y）+（x-y）+
∴2x+
解析
证明：由题设x＞y，可得x-y＞0；
∵2x+
又（x-y）+（x-y）+
∴2x+
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