- 综合法与分析法证明不等式
- 共468题
已知a＞0，b＞0，求证下列各式：
（1）
（2）a+b≥
正确答案
证明：（1）∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0且a2+b2≥2ab…（1分）
∴
∴
（2）∵a＞0，b＞0，∴由（1）可知，a+b≤2
∴
当且仅当
∴a+b≥
解析
证明：（1）∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0且a2+b2≥2ab…（1分）
∴
∴
（2）∵a＞0，b＞0，∴由（1）可知，a+b≤2
∴
当且仅当
∴a+b≥
（1）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）中，a，b，c均为整数，且f（0），f（1）均为奇数．求证：f（x）=0无整数根．
（2）已知a，b，c∈R+，a+b+c=1，求证：
正确答案
证明：（1）f（0）=c为奇数，
f（1）=a+b+c为奇数，则a+b为偶数，
所以a，b同奇偶，
假设整数根t，所以f（t）=0 即at2+bt+c=0，
若a，b同为偶数，则at2+bt为偶数，
所以at2+bt+c为奇数可得at2+bt+c≠0
与at2+bt+c=0矛盾；
若a，b同为奇数，若t为偶数则at2+bt为偶数，
若t为奇数则at2+bt为偶数，
所以 at2+bt+c为奇数 可得at2+bt+c≠0与at2+bt+c=0矛盾．
综上所述方程f（x）=0无整数根；
（2）a，b，c∈R+，a+b+c=1，
即有
≥3
当且仅当a=b=c，取得等号．
即有
解析
证明：（1）f（0）=c为奇数，
f（1）=a+b+c为奇数，则a+b为偶数，
所以a，b同奇偶，
假设整数根t，所以f（t）=0 即at2+bt+c=0，
若a，b同为偶数，则at2+bt为偶数，
所以at2+bt+c为奇数可得at2+bt+c≠0
与at2+bt+c=0矛盾；
若a，b同为奇数，若t为偶数则at2+bt为偶数，
若t为奇数则at2+bt为偶数，
所以 at2+bt+c为奇数 可得at2+bt+c≠0与at2+bt+c=0矛盾．
综上所述方程f（x）=0无整数根；
（2）a，b，c∈R+，a+b+c=1，
即有
≥3
当且仅当a=b=c，取得等号．
即有
正确答案
证明：∵∠EBC=∠ABD，∠ECB=∠DAB 可得，△ABD∽△CBE．
∴
故在△DBE 和△ABC中，∠ABC=∠DBE，且此角的两边对应成比例．
∴△DBE∽△ABC．
解析
证明：∵∠EBC=∠ABD，∠ECB=∠DAB 可得，△ABD∽△CBE．
∴
故在△DBE 和△ABC中，∠ABC=∠DBE，且此角的两边对应成比例．
∴△DBE∽△ABC．
已知a1，a2，b1，b2∈R+，求证：
正确答案
证明：要证
即证（a1+b1）（a2+b2）≥a1a2+b1b2+2
即证a1b2+b1a2≥2
由a1，a2，b1，b2∈R+，运用基本不等式上式显然成立．
故原不等式成立．
解析
证明：要证
即证（a1+b1）（a2+b2）≥a1a2+b1b2+2
即证a1b2+b1a2≥2
由a1，a2，b1，b2∈R+，运用基本不等式上式显然成立．
故原不等式成立．
已知x，y为正实数，求证：
正确答案
证：因为x，y为正实数，
要证
只要证
即证3x2+12xy+3y2≤2（2x+y）（x+2y） …（3分）
即证x2-2xy+y2≥0，
即证（x-y）2≥0，显然成立
所以原不等式成立．…（6分）
解析
证：因为x，y为正实数，
要证
只要证
即证3x2+12xy+3y2≤2（2x+y）（x+2y） …（3分）
即证x2-2xy+y2≥0，
即证（x-y）2≥0，显然成立
所以原不等式成立．…（6分）
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