- 综合法与分析法证明不等式
- 共468题
已知a，b，c∈R+，a+b+c=1，求证：
正确答案
证明：∵a+b+c=1，∴
∵a，b，c∈R+，∴
∵
∴
解析
证明：∵a+b+c=1，∴
∵a，b，c∈R+，∴
∵
∴
设f（x）=ex-a（x+1）．（e是自然对数的底数）
（Ⅰ）若f（x）≥0对一切x≥-1恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）求证：（
正确答案
解：（Ⅰ）x=-1时，结论成立；
x≠-1时，f（x）≥0⇔a≤
设p（x）=
∴p（x）在x∈（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增，
∴p（x）≥p（0）=1（x=0时取等号），
∴a≤1；
（Ⅱ）证明：a=1时，由（Ⅰ）得ex≥x+1．
令x=-
∴（
解析
解：（Ⅰ）x=-1时，结论成立；
x≠-1时，f（x）≥0⇔a≤
设p（x）=
∴p（x）在x∈（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增，
∴p（x）≥p（0）=1（x=0时取等号），
∴a≤1；
（Ⅱ）证明：a=1时，由（Ⅰ）得ex≥x+1．
令x=-
∴（
试证：对任意大于1的正整数n有
正确答案
证明：左边=
∴
解析
证明：左边=
∴
求证：1+
正确答案
证明：∵1+
=1+1-
∴1+
解析
证明：∵1+
=1+1-
∴1+
（1）已知a+b+c=1，a，b，c∈（0，+∞），求证：alog3a+blog3b+clog3c≥-1；
（2）已知a1+a2+…+a
正确答案
证明：（1）令f（x）=xlog3x，
则f′（x）=log3x+x•
f″（x）=
由于a+b+c=1，a，b，c∈（0，+∞），
由琴声不等式（琴生不等式以丹麦数学家约翰•琴生（Johan Jensen）命名，也称为詹森不等式）
得：
即alog3a+blog3b+clog3c≥3f（
（2）因为a1+a2+…+a
所以，由琴声不等式得：a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3+…+a
解析
证明：（1）令f（x）=xlog3x，
则f′（x）=log3x+x•
f″（x）=
由于a+b+c=1，a，b，c∈（0，+∞），
由琴声不等式（琴生不等式以丹麦数学家约翰•琴生（Johan Jensen）命名，也称为詹森不等式）
得：
即alog3a+blog3b+clog3c≥3f（
（2）因为a1+a2+…+a
所以，由琴声不等式得：a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3+…+a
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