综合法与分析法证明不等式
共468题

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综合法与分析法证明不等式
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题型：简答题

简答题

已知实数a，b，c满足a＞b＞c，求证：++＞0．

正确答案

证明：∵实数a，b，c满足a＞b＞c，

∴a-c＞a-b＞0，b-c＞0，

∴＞•＞0，

∴+＞，

∴++＞0．

解析

证明：∵实数a，b，c满足a＞b＞c，

∴a-c＞a-b＞0，b-c＞0，

∴＞•＞0，

∴+＞，

∴++＞0．

题型：简答题

简答题

求证：++＜2．

正确答案

证明：要证成立，

只需证成立，-----（3分）

即证成立，只需证5×9×8＜192 成立，--------（6分）

因为5×9×8=360，192=361，显然5×9×8＜192 成立，所以，．-------------（8分）

解析

证明：要证成立，

只需证成立，-----（3分）

即证成立，只需证5×9×8＜192 成立，--------（6分）

因为5×9×8=360，192=361，显然5×9×8＜192 成立，所以，．-------------（8分）

题型：简答题

简答题

（1）证明不等式：若x，y＞0，则

（2）探索猜想下列不等式，并将结果填在括号内：若x，y，z＞0，则______；

（3）试由（1）（2）归纳出更一般的结论：______．

正确答案

解：（1）证明：

当且仅当即x=y时，等号成立

（2），当且仅当x=y=z时，等号成立

（3）由（1）（2）归纳推广出更一般的结论：

若x1，x2，…，xn＞0，则

解析

解：（1）证明：

当且仅当即x=y时，等号成立

（2），当且仅当x=y=z时，等号成立

（3）由（1）（2）归纳推广出更一般的结论：

若x1，x2，…，xn＞0，则

题型：简答题

简答题

己知集合M={（x，y）|x＞0，y＞0，x+y=k}，其中k为大于0的常数．

（Ⅰ）对任意（x，y）∈M，t=xy，求t的取值范围；

（Ⅱ）求证：当k≥1时，不等式对任意（x，y）∈M恒成立；

（Ⅲ）求使不等式对任意（x，y）∈M恒成立的k的范围．

正确答案

解：（Ⅰ）由（x，y）∈M知，x，y均为正数，从而t=xy，

当且仅当时取等号，所以xy取值范围为．

（Ⅱ）令t=xy，则由（1）知t∈，

得

=，

令f（t）=，t∈，

∵k≥1，∴k2-1≥0，则易证f（t）=，t∈为增函数，

∴，即成立．

（Ⅲ）由（2）知，f（t）=，f（）=，

本题即求对t∈恒成立的k的范围，故有 0＜k＜1，则1-k2＞0．

则由函数单调性的定义易证f（t）=上递减，在上递增．

故要使不等式恒成立，只要≤ 即可，即 k4+16k2-16≤0．

解得-8+4≥k2≥-8-4，即-8+4≥k2．

进一步解得≥k≥-．

由于4＞9，∴4-8＞1．

综合1＞k＞0可得，所求的k的范围是（0，1）．

解析

解：（Ⅰ）由（x，y）∈M知，x，y均为正数，从而t=xy，

当且仅当时取等号，所以xy取值范围为．

（Ⅱ）令t=xy，则由（1）知t∈，

得

=，

令f（t）=，t∈，

∵k≥1，∴k2-1≥0，则易证f（t）=，t∈为增函数，

∴，即成立．

（Ⅲ）由（2）知，f（t）=，f（）=，

本题即求对t∈恒成立的k的范围，故有 0＜k＜1，则1-k2＞0．

则由函数单调性的定义易证f（t）=上递减，在上递增．

故要使不等式恒成立，只要≤ 即可，即 k4+16k2-16≤0．

解得-8+4≥k2≥-8-4，即-8+4≥k2．

进一步解得≥k≥-．

由于4＞9，∴4-8＞1．

综合1＞k＞0可得，所求的k的范围是（0，1）．

题型：简答题

简答题

设a，b，c∈R+，求证：a+b+c≤++≤++．

正确答案

证明：++≥=≥a+b+c；

++==≥≥=；

所以a，b，c∈R+，a+b+c≤++≤++．

解析

证明：++≥=≥a+b+c；

++==≥≥=；

所以a，b，c∈R+，a+b+c≤++≤++．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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