- 综合法与分析法证明不等式
- 共468题
已知x＞0，y＞0，z＞0，求证：（
正确答案
证明：（
当且仅当x=y=z时，等号成立．
解析
证明：（
当且仅当x=y=z时，等号成立．
已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=4，Sn=nan+2-
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足：b1=4且bn+1=bn2-（n-1）bn-2（n∈N*），求证：bn＞an（n≥2，n∈N*）；
（3）求证：（1+
正确答案
（1）解：Sn=nan+2-
Sn-1=（n-1）an-1+2-
①-②得an=nan-（n-1）an-1-（n-1），
即有an-an-1=1（n≥3，n∈N*）
①中令n=2，a1+a2=2a2+2-1，a2=3，
综上an=
（2）证明：①当n=2时，b2=b12-2=14＞3=a2，不等式成立；
②假设n=k（k≥2）时，不等式bk＞k+1（k≥2时ak=k+1），
那么当n=k+1时，
bk+1=bk2-（k-1）bk-2=bk（bk-k+1）-2
＞bk（k+1-k+1）-2=2bk-2＞2（k+1）-2（由归设）=2k≥k+2
∴n=k+1命题真；
综合①②知当n≥2时，bn＞an．
（3）证明：设f（x）=ln（1+x）-x，f′（x）=
f（x）在（0，+∞）递减，则f（x）＜f（0）=0，
即ln（1+x）＜x，又n≥2时，
则ln（1+
即有ln（1+
=
则有（1+
解析
（1）解：Sn=nan+2-
Sn-1=（n-1）an-1+2-
①-②得an=nan-（n-1）an-1-（n-1），
即有an-an-1=1（n≥3，n∈N*）
①中令n=2，a1+a2=2a2+2-1，a2=3，
综上an=
（2）证明：①当n=2时，b2=b12-2=14＞3=a2，不等式成立；
②假设n=k（k≥2）时，不等式bk＞k+1（k≥2时ak=k+1），
那么当n=k+1时，
bk+1=bk2-（k-1）bk-2=bk（bk-k+1）-2
＞bk（k+1-k+1）-2=2bk-2＞2（k+1）-2（由归设）=2k≥k+2
∴n=k+1命题真；
综合①②知当n≥2时，bn＞an．
（3）证明：设f（x）=ln（1+x）-x，f′（x）=
f（x）在（0，+∞）递减，则f（x）＜f（0）=0，
即ln（1+x）＜x，又n≥2时，
则ln（1+
即有ln（1+
=
则有（1+
若
正确答案
解：∵
∴
解析
解：∵
∴
如图，AD∥BC，∠A=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AD于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F
求证：AB=FC．
正确答案
证明：∵以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD边于点E，
∴BC=BE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90°，AE∥BC，
∴∠AEB=∠FBC，
而CF丄BE，∴∠BFC=90°，
在Rt△ABE和Rt△FCB中，
BE=BC，∠AEB=∠FBC，
∴Rt△ABE≌Rt△FCB，
∴AB=FC．
解析
证明：∵以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD边于点E，
∴BC=BE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90°，AE∥BC，
∴∠AEB=∠FBC，
而CF丄BE，∴∠BFC=90°，
在Rt△ABE和Rt△FCB中，
BE=BC，∠AEB=∠FBC，
∴Rt△ABE≌Rt△FCB，
∴AB=FC．
已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：
正确答案
证明：因为a，b都是正实数，所以原不等式等价于a2（b+1）+b2（a+1）≥（a+1）（b+1），
即 a2b+a2+ab2+b2≥ab+a+b+1．
等价于 a2+b2+ab（a+b）≥ab+a+b+1，…（6分）
将a+b=2代入，只需要证明 a2+b2+2ab=（a+b）2=4≥ab+3，即ab≤1．
而由已知 a+b=2≥2
另证：因为a，b都是正实数，所以 
两式相加得 
因为 a+b=2，所以 
解析
证明：因为a，b都是正实数，所以原不等式等价于a2（b+1）+b2（a+1）≥（a+1）（b+1），
即 a2b+a2+ab2+b2≥ab+a+b+1．
等价于 a2+b2+ab（a+b）≥ab+a+b+1，…（6分）
将a+b=2代入，只需要证明 a2+b2+2ab=（a+b）2=4≥ab+3，即ab≤1．
而由已知 a+b=2≥2
另证：因为a，b都是正实数，所以
两式相加得
因为 a+b=2，所以
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