热门试卷

证明：由1+a+b≥3，①

1+b+c≥3，②

1+c+a≥3，③

①②③，可得（1+a+b）（1+b+c）（1+c+a）≥27，

由a，b，c是互不相等的正数，且abc=1，

则等号取不到，即有（1+a+b）（1+b+c）（1+c+a）＞27．

证明：（1）∵b2+c2≥2bc，a＞0，∴a（b2+c2）≥2abc．

又∵c2+a2≥2ac，b＞0，∴b（c2+a2）≥2abc．

∴a（b2+c2）+b（c2+a2）≥4abc．

（2）∵和都是正数，

要证

只需证

整理得：

即证：21＜25

∵21＜25显然成立

∴原不等式成立

解：（1）令a=b，得，故．  先证明：

∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2b+a）+3b（2a+b）≤2（2a+b）（2b+a），

即证a2+b2≥2ab，即证（a-b）2≥0，这显然成立．∴．

再证明：

∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2a+b）+3b（2b+a）≥2（a+2b）（b+2a），

即证a2+b2≥2ab，即证（a-b）2≥0，这显然成立．∴．

（2）存在一个常数M，使得不等式

对任意正数a，b，c，d恒成立．

证明：原不等式即为3n-1＞4（n-1）n，

即3n＞（2n-1）2．

运用数学归纳法证明．

当n=3时，左边为33=27，右边=（2×3-1）2=25，

左边＞右边，成立．

假设n=k（k＞2），不等式即3k＞（2k-1）2．

当n=k+1时，左边=3k+1＞3（2k-1）2．

而3（2k-1）2-（2k+1）2=8k（k-2）+4＞0，

即有n=k+1时，3k+1＞（2（k+1）-1）2．

综上可得，当n＞2时，都有3n＞（2n-1）2．

即有＜（n＞2）成立．