导数及其应用_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

1

题型：填空题

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填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

1

题型：填空题

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填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

曲线在点处的切线方程为__________。

正确答案

解析

求导得,,由直线的点斜式方程得,整理得.

知识点

导数的几何意义导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数

（1）若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；

（2）设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；

（3）对（2）中的和任意的，证明：

正确答案

见解析。

解析

（1），

由已知得解得，

∴ 两条直线交点的坐标为，切线的斜率为，

∴ 切线的方程为

（2）由条件知

∴

（ⅰ）当a>0时，令，解得，

∴ 当时，在上递减；

当时，在上递增

∴是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点

∴最小值

（ⅱ）当时，在上递增，无最小值，

故的最小值的解析式为

（3）由（2）知

对任意的

①

②

③

故由①②③得

知识点

函数恒成立问题导数的几何意义导数的运算不等式的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|=3，则△AOB的面积为（　　）

A

B

C

D2

正确答案

C

解析

设∠AFx=θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，

∵|AF|=3，

∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3

∴2+3cosθ=3

∴cosθ=

∵m=2+mcos（π﹣θ）

∴

∴△AOB的面积为S==

知识点

导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设，集合,.

（1）求集合(用区间表示）；

（2）求函数在内的极值点。

正确答案

（1）

（2）当时,极值点为；当时,极值点为；当时,无极值点。

解析

（1）由方程得判别式

因为,所以

当时,,此时,所以；

当时,,设方程的两根为且,

则 ,,

当时,,,所以

此时,

当时,,所以

此时,.

综上,

（2） ,

所以函数在区间上为减函数,在区间和上为增函数

当时,因为,所以在内的极值点为；

当时,,所以在内有极大值点；

当时,

由,很容易得到

（可以用作差法，也可以用分析法）,所以在内有极大值点；

当时,

由,很容易得到,此时在,内没有极值点。

综上,当时,极值点为；当时,极值点为；当时,无极值点。

知识点

交集及其运算导数的几何意义导数的运算

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为，若梯形的面积为，则。

正确答案

2

解析

，，梯形的高为

，其上下底之和为，

故由面积可得：

知识点

导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知函数其中实数。

（1）若a=-2，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在x=1处取得极值，试讨论的单调性。

正确答案

见解析。

解析

知识点

导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设函数。

（1）当a=1时，求的单调区间。

（2）若在上的最大值为，求a的值。

正确答案

见解析。

解析

对函数求导得：，定义域为（0，2）

（1）单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。

当a=1时，令

当为增区间；当为减函数。

（2）区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定

待定量a的值。

当有最大值，则必不为减函数，且>0，为单调递增区间。

最大值在右端点取到。。

知识点

导数的几何意义导数的运算

1

题型：填空题

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填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

1

题型：填空题

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填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____

正确答案

21

解析

考查函数的切线方程、数列的通项。

在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，

所以。

知识点

导数的几何意义导数的运算等差数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。

（1）设函数，其中为实数。

(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。

（2）已知函数具有性质。给定设为实数，

，，且，

若||<||，求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）(i)

∵时，恒成立，

∴函数具有性质；

(ii)（方法一）设，与的符号相同。

当时，，，故此时在区间上递增；

当时，对于，有，所以此时在区间上递增；

当时，图像开口向上，对称轴，而，

对于，总有，，故此时在区间上递增；

（方法二）当时，对于，

所以，故此时在区间上递增；

当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而

当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。

综上所述，当时，在区间上递增；

当时，在上递减；在上递增。

（2）（方法一）由题意，得：

又对任意的都有>0，

所以对任意的都有，在上递增。

又。

当时，，且，

综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。

（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。

①当时，有，

，得，同理可得，所以由的单调性知、，

从而有||<||，符合题设。

②当时，，

，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。

③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。

因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。

知识点

函数单调性的性质导数的运算不等式的基本性质

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知函数，其中.

（1）若对一切，恒成立，求的取值集合.

（2）在函数的图像上取定两点，记直线的斜率为.问：是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，

故.

而令

当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当

.①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（2）由题意知，

令则

令，则.

当时，单调递减；当时，单调递增.

故当，即

从而，又

所以

因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在，使，单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， .

综上所述，存在使成立.且的取值范围为.

知识点

函数的最值及其几何意义函数恒成立问题导数的几何意义导数的运算

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