- 导数及其应用
- 共3028题
抛物线在
处的切线与
轴及该抛物线所围成的图形面积为 .
正确答案
解析
:函数的导数为
,即切线斜率为
,所以切线方程为
,即
,令
,得
,作图可知,围成的图形是曲边梯形去掉一个直角三角形,
所求面积为.
知识点
已知函数满足如下条件:当
时,
,且对任意
,都有
。
(1)求函数的图象在点
处的切线方程;
(2)求当,
时,函数
的解析式;
(3)是否存在,
,使得等式
成立?若存在就求出
(
),若不存在,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)时,
,
,
所以,函数的图象在点
处的切线方程为
,即
。
(2)因为,
所以,当,
时,
,
。
(3)考虑函数,
,
,
则,
当时,
,
单调递减;
当时,
;
当时,
,
单调递增;
所以,当,
时,
,
当且仅当时,
。
所以,
而,
令,则
,
两式相减得,
。
所以,,
故。
所以,。
当且仅当时,
。
所以,存在唯一一组实数,
,
使得等式成立。
知识点
已知函数(
为常数)。
(1)函数的图象在点(
)处的切线与函数
的图象相切,求实数
的值;
(2)若,
、
使得
成立,求满足上述条件的最大整数
;
(3)当时,若对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数
,
,都有
成立,求
的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)∵,∴
,
,
∴函数的图象在点(
)处的切线方程为
,
∵直线与函数
的图象相切,由
消去y得
,
则,解得
-
(2)当时,∵
,
∴,-
当时,
,∴在
上单调递减,
,
-
则,
∴,故满足条件的最大整数
.-
(3)不妨设,∵函数
在区间[1,2]上是增函数,∴
,
∵函数图象的对称轴为
,且
,∴函数
在区间[1,2]上是减函数,
∴,-
∴等价于
,
即,
等价于在区间[1,2]上是增函数,
等价于在区间[1,2]上恒成立,
等价于在区间[1,2]上恒成立,
∴,又
,∴
.-
知识点
已知函数
(1)求函数的单调区间;
(2)如果关于x的方程有实数根,求实数
的取值集合;
(3)是否存在正数,使得关于x的方程
有两个不相等的实数根?如果存在,求
满足的条件;如果不存在,说明理由.
正确答案
见解析。
解析
(1)函数的定义域是
对求导得
由 ,由
因此 是函数
的增区间;
(-1,0)和(0,3)是函数的减区间
(2)因为
所以实数m的取值范围就是函数的值域
对
令
∴当x=2时取得最大值,且
又当x无限趋近于0时,无限趋近于
无限趋近于0,
进而有无限趋近于-∞.因此函数
的值域是
,即实数m的取值范围是
(3)结论:这样的正数k不存在。
下面采用反证法来证明:假设存在正数k,使得关于x的方程
有两个不相等的实数根
,则
根据对数函数定义域知都是正数。
又由(1)可知,当时,
∴=
,
=
,
再由k>0,可得
由于 不妨设
,
由①和②可得
利用比例性质得
即
由于上的恒正增函数,且
又上的恒正减函数,且
∴
∴,这与(*)式矛盾。
因此满足条件的正数k不存在
知识点
已知函数。
(1)求在
上的最大值;
(2)若直线为曲线
的切线,求实数
的值;
(3)当时,设
,且
,若不等式
恒成立,求实数
的最小值。
正确答案
见解析。
解析
(1),
令,解得
(负值舍去),
由,解得
。
(ⅰ)当时,由
,得
,
在
上的最大值为
。
(ⅱ)当时,由
,得
,
在
上的最大值为
。
(ⅲ)当时,
在
时,
,在
时,
,
在
上的最大值为
。
(2)设切点为,则
…
由,有
,化简得
,
即或
, ……………①
由,有
,………②
由①、②解得或
。 …
(3)当时,
,
由(2)的结论直线为曲线
的切线,
,
点
在直线
上,
根据图像分析,曲线在直线
下方。
下面给出证明:当时,
。
,
当
时,
,即
。
,
,
。
要使不等式
恒成立,必须
。
又当
时,满足条件
,
且,
因此,的最小值为
。
知识点
设曲线在
处的切线与抛物线
在
的部分有两个交点,则实数的取值范围是 ,
正确答案
见解析
解析
,易知曲线
在
处的切线的斜率
为
,切点为
,于是切线
的方程为:
,如13题解析图所示,切线
应介于和
平行的直线
、
之间,其中直线
过点
,直线
和抛物线
在
的部分即弧
相切,
易知直线的方程为:
,
直线的方程为:
,
故应有:,即
,故应填
或
。
知识点
已知函数,下列命题:
①函数的图象关于原点对称; ②函数
是周期函数;
③当时,函数
取最大值;④函数
的图象与函数
的图象没有公共点,其中正确命题的序号是()
正确答案
解析
略
知识点
直线过点
,且与曲线
在点
处的切线相互垂直,,则直线
的方程为 ;
正确答案
解析
略。
知识点
已知函数。
(1)若a=-1,求函数的单调区间;
(2)若函数的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45o,对于任意的t
[1,2],函数
是
的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;
(3)求证:。
正确答案
见解析
解析
(1)当时,
, 解
得
;
解得
的单调增区间为
,减区间为
.
(2) ∵∴
得
,
,∴
∵在区间
上总不是单调函数,且
∴
,由题意知:对于任意的
,
恒成立,所以,
,∴
.
(3)证明如下: 由(Ⅰ)可知当时
,即
,
∴对一切
成立。
∵,则有
,∴
.
.
知识点
已知函数,其中
且
.
(1)讨论的单调性;
(2) 若不等式恒成立,求实数
取值范围;
(3)若方程存在两个异号实根
,
,求证:
正确答案
见解析。
解析
(1)的定义域为
.
其导数
①当时,
,函数在
上是增函数;
②当时,在区间
上,
;在区间(0,+∞)上,
。
所以,在
是增函数,在(0,+∞)是减函数.
(2)当时, 则
取适当的数能使
,比如取
,
能使, 所以
不合题意
当时,令
,则
问题化为求恒成立时
的取值范围.
由于
在区间
上,
;在区间
上,
.
的最小值为
,所以只需
即,
,
(3)由于存在两个异号根
,不仿设
,因为
,所以
构造函数:(
)
所以函数在区间
上为减函数.
,则
,
于是,又
,
,由
在
上为减函数可知
.即
知识点
已知.
(1)记在区间
上的最大值为
,求
的表达式;
(2)是否存在a,使函数在区间(0,9)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
正确答案
见解析
解析
知识点
若曲线在点
处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为
,则
___________.
正确答案
2
解析
求导得,所以在点
处的切线方程为
.令
得,
令
得,
所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积
,
(舍去负值),
.
知识点
已知正数满足
,
,则
的取值范围是______。
正确答案
解析
略
知识点
直线与曲线
相切时,a=
正确答案
解析
略
知识点
曲线在
处的切线方程为 ▲ .
正确答案
解析
略
知识点
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