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题型:填空题
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填空题 · 5 分

抛物线处的切线与轴及该抛物线所围成的图形面积为          .

正确答案

解析

:函数的导数为,即切线斜率为,所以切线方程为,即,令,得,作图可知,围成的图形是曲边梯形去掉一个直角三角形,

所求面积为.

知识点

导数的几何意义定积分的简单应用抛物线的标准方程和几何性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数满足如下条件:当时,,且对任意,都有

(1)求函数的图象在点处的切线方程;

(2)求当时,函数的解析式;

(3)是否存在,使得等式

成立?若存在就求出),若不存在,说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)时,

所以,函数的图象在点处的切线方程为

,即

(2)因为

所以,当时,

(3)考虑函数

时,单调递减;

时,

时,单调递增;

所以,当时,

当且仅当时,

所以,

,则

两式相减得,

所以,

所以,

当且仅当时,

所以,存在唯一一组实数

使得等式成立。

知识点

函数解析式的求解及常用方法导数的几何意义错位相减法求和
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数为常数)。

(1)函数的图象在点()处的切线与函数的图象相切,求实数的值;

(2)若使得成立,求满足上述条件的最大整数

(3)当时,若对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数,都有

成立,求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)∵,∴

∴函数的图象在点()处的切线方程为

∵直线与函数的图象相切,由消去y得

,解得-

(2)当时,∵

,-

时,,∴在上单调递减,

-

,故满足条件的最大整数.-

(3)不妨设,∵函数在区间[1,2]上是增函数,∴

∵函数图象的对称轴为,且,∴函数在区间[1,2]上是减函数,

,-

等价于

等价于在区间[1,2]上是增函数,

等价于在区间[1,2]上恒成立,

等价于在区间[1,2]上恒成立,

,又,∴.-

知识点

函数单调性的性质函数的最值及其几何意义导数的几何意义
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数

(1)求函数的单调区间;

(2)如果关于x的方程有实数根,求实数的取值集合;

(3)是否存在正数,使得关于x的方程有两个不相等的实数根?如果存在,求满足的条件;如果不存在,说明理由.

正确答案

见解析。

解析

(1)函数的定义域是

求导得

,由

因此 是函数的增区间;

(-1,0)和(0,3)是函数的减区间

(2)因为

所以实数m的取值范围就是函数的值域

∴当x=2时取得最大值,且

又当x无限趋近于0时,无限趋近于无限趋近于0,

进而有无限趋近于-∞.因此函数的值域是 ,即实数m的取值范围是

(3)结论:这样的正数k不存在。

下面采用反证法来证明:假设存在正数k,使得关于x的方程

有两个不相等的实数根,则

根据对数函数定义域知都是正数。

又由(1)可知,当时,

==

再由k>0,可得

由于 不妨设

由①和②可得

利用比例性质得 

由于上的恒正增函数,且

上的恒正减函数,且

,这与(*)式矛盾。

因此满足条件的正数k不存在

知识点

函数单调性的性质函数零点的判断和求解导数的几何意义导数的运算
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数

(1)求上的最大值;

(2)若直线为曲线的切线,求实数的值;

(3)当时,设,且,若不等式恒成立,求实数的最小值。

正确答案

见解析。

解析

(1)

,解得(负值舍去),

,解得

(ⅰ)当时,由,得

上的最大值为

(ⅱ)当时,由,得

上的最大值为

(ⅲ)当时,时,,在时,

上的最大值为

(2)设切点为,则     …

,有,化简得

, ……………①

,有,………②

由①、②解得。      …

(3)当时,

由(2)的结论直线为曲线的切线,

在直线上,

根据图像分析,曲线在直线下方。

下面给出证明:当时,

时,,即

要使不等式恒成立,必须

时,满足条件

因此,的最小值为

知识点

导数的几何意义不等式恒成立问题利用基本不等式求最值
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

设曲线处的切线与抛物线

的部分有两个交点,则实数的取值范围是        ,

正确答案

见解析

解析

,易知曲线处的切线的斜率,切点为,于是切线的方程为:,如13题解析图所示,切线应介于和平行的直线之间,其中直线过点,直线和抛物线的部分即弧相切,

易知直线的方程为:

直线的方程为:

故应有:,即,故应填

知识点

导数的几何意义直线与抛物线的位置关系
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知函数,下列命题:

①函数的图象关于原点对称; ②函数是周期函数;

③当时,函数取最大值;④函数的图象与函数的图象没有公共点,其中正确命题的序号是()

A①③

B②③

C①④

D②④

正确答案

C

解析

知识点

导数的几何意义
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

直线过点,且与曲线在点处的切线相互垂直,,则直线的方程为                  ;

正确答案

解析

略。

知识点

导数的几何意义
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数

(1)若a=-1,求函数的单调区间;

(2)若函数的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45o,对于任意的t[1,2],函数的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;

(3)求证:

正确答案

见解析

解析

(1)当时,,   解

的单调增区间为,减区间为 .

(2) ∵

,∴

在区间上总不是单调函数,且,由题意知:对于任意的恒成立,所以,,∴.

(3)证明如下: 由(Ⅰ)可知当,即

对一切成立。

,则有,∴.

.

知识点

导数的几何意义
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数,其中.

(1)讨论的单调性;

(2) 若不等式恒成立,求实数取值范围;

(3)若方程存在两个异号实根,求证:

正确答案

见解析。

解析

(1)的定义域为.

其导数

①当时,,函数在上是增函数;

②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,

所以,是增函数,在(0,+∞)是减函数.

(2)当时, 则取适当的数能使,比如取

能使, 所以不合题意

时,令,则

问题化为求恒成立时的取值范围.

由于

在区间上,;在区间上,.

的最小值为,所以只需

,,

(3)由于存在两个异号根,不仿设,因为,所以

构造函数:()

所以函数在区间上为减函数. ,则,

于是,又,,由上为减函数可知.即

知识点

函数单调性的判断与证明导数的几何意义导数的运算不等式恒成立问题不等式与函数的综合问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知.

(1)记在区间上的最大值为,求的表达式;

(2)是否存在a,使函数在区间(0,9)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.

正确答案

见解析

解析

知识点

函数解析式的求解及常用方法函数的最值及其几何意义导数的几何意义
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

若曲线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为,则___________.

正确答案

2

解析

求导得,所以在点处的切线方程为.令得,得,所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积(舍去负值),.

知识点

对数的运算性质导数的几何意义
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知正数满足,则的取值范围是______。

正确答案

解析

知识点

导数的几何意义
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

直线与曲线相切时,a=

A

B1

C

D2

正确答案

D

解析

知识点

导数的几何意义
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

曲线处的切线方程为  ▲  .

正确答案

解析

知识点

导数的几何意义导数的运算
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