数列与不等式的综合
共132题

数列与不等式的综合
共132题

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题型：简答题

多选题

与理财顾问服务相比，综合理财服务的特点体现在( )。

A．综合理财服务分为理财计划和私人银行业务两类
B．综合理财服务更强调个性化的服务
C．投资收益与风险由客户或客户与银行按照约定方式获取或承担
D．综合理财服务活动中是客户授权银行代表客户按合同约定的投资方式和方向，进行投资和资产管理
E．私人银行业务是商业银行针对特定目标客户群体进行的个人理财服务

正确答案

A,B,C,D,E

解析

[解析] 本题考查综合理财服务的特点，题目所给选项说法都是正确的。

题型：简答题

简答题 · 16 分

19. 设数列的前项和，，，且当时，．

（1）求证:数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．

正确答案

见解析

解析

解：（1）当时, ,,

代入并化简得,

而恒为正值,∴

∴数列是等比数列.

∴.当时,,

又，∴

（2）当时，,此时，又

∴.

故，

当时，

，

若，

则等式为，不是整数，不符合题意；

若，则等式为，

∵是整数, ∴必是的因数, ∵时

∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.

综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，

当时，不存在正整数使等式成立.

考查方向

本题考查了等比数列的证明及数列的通项公式求法

解题思路

利用，得数列是等比数列.

易错点

忽略n的范围的讨论。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

21.设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．

（1）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；

（2）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明。

正确答案

（1）则

所以在内至少存在一个零点.

又，故在内单调递增，

所以在内有且仅有一个零点.

因为是的零点，所以，即，故.

（2）解法一：由题设，

设

当时,

若,

所以在上递增，在上递减，

所以，即.

综上所述，当时, ；当时

解法二由题设，

当时,

当时, 用数学归纳法可以证明.

当时, 所以成立.

假设时，不等式成立，即.

那么，当时，

又

令，则

所以当,,在上递减；

当,,在上递增.

所以，从而

故.即，不等式也成立.

所以，对于一切的整数，都有.

解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，，

所以,

令

当时, ,所以.

当时,

而，所以，.

若, ,,

当,,,

从而在上递减,在上递增.所以，

所以当又,，故

综上所述，当时, ；当时

解析

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知识点

函数零点的判断和求解等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 7 分

21. 正数数列、满足：，且对一切，，是与的等

差中项，是与的等比中项；

（1）若，，求、的值；

（2）求证：是等差数列的充要条件是为常数数列；

充分性和必要性的证明。

（3）记，当，，指出与的大小关系并说明理由；

正确答案

是等差数列的充要条件是为常数数列

解析

正整数数列、满足：，且对一切，，是与的等差中项，是与的等比中项；所以2=+，，，，可得，解得。

是等差数列，，可得，则，

所以时，，

即，正整数数列，可知，，所以，所以数列

为常数数列。是等差数列的充要条件是为常数数列。

对一切，，是与的等

差中项，是与的等比中项；,所以，=，由所以，依此类推可得：为正整数。当，，时

考查方向

数列的综合应用。

解题思路

根据对一切，，是与的等差中项，是与的等比中项；所以2=+，，，，可得即可求解。

是等差数列，，可得，，，，时，，可得即可证明。

对一切，，是与的等差中项，是与的等比中项；，利用基本不等式的性质

可得，，利用单调性即可得出。

易错点

计算要仔细准确。

①不容易考虑到基本不等式②利用单调性比较大小在数列中的应用。

知识点

充要条件的判定等差数列的判断与证明等比数列的基本运算数列与不等式的综合

题型：填空题

填空题 · 5 分

11. 已知数列是首项为1，公差为的等差数列，前项和为，设

，若数列是递减数列，则实数的取值范围是

正确答案

解析

，所以，因为数列是递减数列，所以，所以，化为：，令，，即可得出时只需且，即。则实数的取值范围是。

考查方向

①等差数列求和②递减数列③恒成立。

解题思路

利用求和公式可得。可得，由数列是递减数列，所以，即可得出。

易错点

①计算能力②递减数列的应用③注意恒成立问题。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用数列与不等式的综合

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