热门试卷

（1） 由，得

所以数列满足.

又，当n=4或5时，取得最大值20，即≤20.

综上，数列是数列.------------------4分

（2）因为，

所以当即时，，此时数列单调递增

当时，，此时数列单调递减；故数列的最大项是，所以，的取值范围是 ----------------9分

（3）①当时， 当时

由得，

即当时符合条件.

若，则,此时

于是

又对于有，所以当时数列是数列；

②当时，

取则：

由，所以时数列不是数列

③当时，

取则

由，所以时数列不是数列.

综上：当时数列是数列；当时数列不是数列

-----------------13分

（1），，     ………2分

，则

所以.                                                    ………4分

（2），所以，所以，

①当，即时，，所以，

解得（，舍去）.                        ………6分

②当，即时，，所以，

解得（，舍去）.                ………7分

③当，即时，，所以，

解得（，舍去）.                  ………9分

综上，，，.                         ………10分

（3）成立.                                                         ………11分

（证明1）

由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且既约）.                                          ………12分

①由，可得；                                ………13分

②若，设（，是非负整数）

则 ，而由得

，故，，可得  ………14分

若则，                                              ………15分

若均不为0，则这正整数互不相同且都小于，

但小于的正整数共有个，矛盾.                                  ………17分

故中至少有一个为0，即存在，使得.

从而数列中以及它之后的项均为0，所以对不大于的自然数，都有.

（证法2，数学归纳法）                                              ………18分

（其它解法可参考给分）

（1）由题意知即      

∴               

检验知、时，结论也成立，故。              

（2）由于

故

。                             

解析：

（1），，，当时，

=2，所以为等比数列。 ，。

（2） 由（1）可得 

；   ，    ，

所以，且，所以的最小值为

（3）由（1）当时，

当时，，，

所以对正整数都有。

由，，(且)，只能是不小于3的奇数。

①当为偶数时，，

因为和都是大于1的正整数，

所以存在正整数，使得，，

,，所以且，

相应的，即有，为“指数型和”；

②当为奇数时，，由于是个奇数之和，

仍为奇数，又为正偶数，所以 不成立，此时没有“指数型和”。