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题型:简答题
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简答题 · 12 分

21.设.

(1)求实数a;

(2)求数列{xn}的通项公式;

(3)若,求证:b1+b2+…+bn<n+1。

正确答案

(1)由

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式裂项相消法求和数列与函数的综合数列与不等式的综合
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题型:简答题
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简答题 · 18 分

23.已知数列的首项是常数,且),),数列的首项).

(1)证明:从第2项起是以2为公比的等比数列;

(2)设为数列的前项和,且是等比数列,求实数的值;

(3)当时,求数列的最小项.

正确答案

(1)∵

(n≥2)

,∴

从第2项起是以2为公比的等比数列.

(2)

当n≥2时,

是等比数列,

(n≥2)是常数,

,即 .

(3)由(1)知当时,

所以

显然最小项是前三项中的一项.

时,最小项为;当时,最小项为

时,最小项为;当时,最小项为

时,最小项为

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用数列与不等式的综合
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题型:简答题
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简答题 · 10 分

17.在数列N其中

(I)求数列的通项公式;

(II)求数列的前项和

(III)证明存在N使得对任意N均成立.

正确答案

(I)解法一:

由此可猜想出数列的通项公式为

以下用数学归纳法证明.

(1)当等式成立.

(2)假设当时等式成立,即

那么,

这就是说,当时等式也成立.

根据(1)和(2)可知,

等式对任何N都成立.

解法二:由N

可得

所以为等数列,其公差为1,首项为0.

所以数列的通项公式为

(II)

         ①

           ②

时,①式减去②式,得

这时数列的前项和

 时,这时数列的前项和

(III)通过分析,推测数列的第一项最大.

下面证明:

要使③式成立,只要因为

所以③式成立.

因此,存在使得对任意N均成立.

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式分组转化法求和数列与不等式的综合
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题型:简答题
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简答题 · 15 分

21.已知数列中,

   (1) 求证:数列)均为等比数列;

   (2) 求数列的前项和

   (3) 若数列的前项和为,不等式恒成立,求的最大值.

正确答案

(1)∵,∴

∴数列是以1为首项,为公比的等比数列;

数列是以为首项,为公比的等比数列。

(2)

(3)

当且仅当时取等号,

所以,即

的最大值为-48

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等比数列的判断与证明分组转化法求和数列与不等式的综合
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

12.已知数列的通项公式是,其中a、b均为正常数,那么的大小关系是(    )

A

B

C

D与n的取值相关

正确答案

B

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合
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