- 计数原理
- 共11505题
某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，要求不同安排方案的种数．现有四位同学分别给出下列四个结果：①
正确答案
②③
用直接法：因为
已知数列{an}共有6项，若其中三项是1，两项是2，一项是3，则满足上述条件的数列共有______个．
正确答案
由题意知本题是一个分步计数问题，
先排3，在6个位置上排列有6种情况；
再排是2的两项，相当于在5个位置中选择两个位置，共有C52=10种；
最后排是1的三项，不管三个1怎么放置，结果只有1种情况．
根据分步计数原理知共6×10=60种．
故答案为：60
男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员．
正确答案
（1）由题意知本题是一个分步计数问题，
首先选3名男运动员，有C63种选法．
再选2名女运动员，有C42种选法．
共有C63•C42=120种选法．
（2）法一（直接法）：“至少1名女运动员”包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理可得有C41•C64+C42•C63+C43•C62+C44•C61=246种选法．
法二（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．
从10人中任选5人，有C105种选法，其中全是男运动员的选法有C65种．
所以“至少有1名女运动员”的选法有C105-C65=246种．
（3）“只有男队长”的选法为C84种；
“只有女队长”的选法为C84种；
“男、女队长都入选”的选法为C83种；
∴共有2C84+C83=196种．
∴“至少1名队长”的选法有C105-C85=196种选法．
（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有C94种选法．
不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法．
其中不含女运动员的选法有C54种，
∴不选女队长时共有C84-C54种选法．
既有队长又有女运动员的选法共有C94+C84-C54=191种．
用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数中，比30000大的偶数有______个（用数字作答）．
正确答案
根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是3、4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；
分两种情况讨论：
①首位数字为3或5时，首位数字有2种情况，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×3×24=144个，
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，
共有144+48=192个；
故答案为192．
将3个不同的小球放入编号分别为1，2，3，4，5，6的盒子内，6号盒中至少有一个球的方法种数是 ______．
正确答案
由题意知3个不同的小球放入编号分别为1，2，3，4，5，6的盒子内，
若对于球和盒没有限制，则每一个求有6种方法，3个球共有63种结果，
若要求6号盒中至少有一个球，它的对立面是6号盒中没有球，有53种结果，
∴符合题意的放法有63-53=91．
故答案为：91
对于各数互不相等的整数数组（i1，i2，i3…in） （n是不小于3的正整数），对于任意的p，q∈{1，2，3，…，n}，当p＜q时有ip＞iq，则称ip，iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于______；若数组（i1，i2，i3，…，in）中的逆序数为n，则数组（in，in-1，…，i1）中的逆序数为______．
正确答案
由题意知数组（2，4，3，1）中的逆序有
2，1；4，1；3，1；4，3，
∴逆序数是4，
∵若数组（i1，i2，i3，…，in）中的逆序数为n，
∵这个数组中可以组成
∴数组（in，in-1，…，i1）中的逆序数为
故答案为：4；
某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有 ______种．
正确答案
由题意知把甲乙看成一个商品，先不考虑丙丁，
∵可以甲乙，也可以乙甲，是一个整体
∴有A44A22=48种结果
其中包含丙丁在一起的，把甲乙、丙丁都放一起，共3个全排，
∴共有A33A22A22=24种结果，
∴共有48-24=24种结果，
故答案为：24
将2名女生，4名男生排成一排，要求女生甲排在女生乙的左边（不一定相邻）的排法总数是______．
正确答案
由题意知把六个人全排列，
女生甲排在女生乙的左边和女生甲排在女生乙的右边的概率相等，
∵六个人全排列共有A66=720，
∴女生甲排在女生乙的左边的排法有
故答案为：360
一个五位的自然数
正确答案
由题意知本题是一个分类计数问题，数字中a的值最小是4，最大是7，
当a=4时，b，c从5，6，7，8，9中选两个，后面两位需要从其余7个数字中选两个，共有C52×C72=210种结果，
当a=5时，b，c从6，7，8，9中选两个，后面两位需要从其余7个数字中选两个，共有C42×C72=126种结果
当a=6时，b，c从7，8，9中选两个，后面两位需要从其余7个数字中选两个，共有C32×C72=63种结果
当a=7时，b，c为8，9，后面两位需要从其余7个数字中选两个，共有1×C72=21种结果
根据分类计数原理知共有420个
故答案为：420
设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点（3，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有______种（用数字作答）；若经过20次跳动质点落在点（16，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有______种（用数字作答）．
正确答案
记向左跳一次为-1，向右跳一次为+1，则只要5次和为+3，质点一定落在（3，0），
所以只需4个“+1”，1个“-1”即可，从5次中挑出一次取“-1”，结果数为C=5，故质点运动方法共有5种．
经过20次跳动质点落在点（16，0）处，只需18个“+1”，2个“-1”即可，从20次中挑出2次取“-1”，结果数C202=190种
故答案为：5、190
5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选法的种数是______．
正确答案
∵每位同学均有4种讲座可选择，∴5位同学共有4×4×4×4×4=45种，
故答案为：45
甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有多少种？
正确答案
20(种)
解：甲排周一时，乙有4种排法，丙则有3种排法，共有4×3＝12(种)；
甲排周二时，乙有3种排法，丙有2种排法，共3×2＝6(种)；
甲排周三时，乙有2种排法，丙有1种排法，共2×1＝2(种)．
由分类计数原理得：共有12＋6＋2＝20(种)．
学校安排4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天要相连，那么不同的安排方法种数是 ______（用数字作答）
正确答案
由题意知本题是一个简单计数问题，
排三名老师时：有12，34，56从四名老师中选三名放到这三个位置．排四名老师时：有12，34，5，6和12，3，45，6和12，3，4，56
和1，23，45，6和1，23，4，56和1，2，34，56这五种情形．
∴根据分步计数原理知三名时有4×（3×2×1）=24 四名时有5×（4×3×2×1）=120
根据分类计数原理知共有24+124=144
故答案为：144．
将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的分配方案有 ______种（用数字表示）
正确答案
本题是一个分步计数问题，
将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书，
首先需要在5本书中选两本作为一个元素，同其他的3个元素在4个位置进行全排列，
共有C52A44=240，
故答案为240，
已知从A地到B地有2条公路可走，从B地到C地有3条小路可走，又从A地不过B地到C地有1条水路可走，那么从A地到C地的不同走法一共有______种．
正确答案
从A经过B到达C的走法有2×3=6种，从A不经过B到达C的走法有1种，
故从A地到C地的不同走法共有6+1=7种，
故答案为 7．
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