- 随机变量及其分布
- 共3822题
电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关.某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.80,开关了15000次后还能继续使用的概率是0.60,则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是( )
正确答案
如图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程:区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M,如图1;将线段AB围成一个圆,使两端点A,B恰好重合,如图2;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在y轴上,点A的坐标为(0,1),如图3.图3中直线AM与x轴交于点N(n,0),则m的像就是n,记作f(m)=n.则在下列说法中正确命题的个数为( )
①f()=1;②f(x)为奇函数;③f(x)在其定义域内单调递增;④f(x)的图象关于点(,0)对称.
正确答案
设事件A发生的概率为P,若在A发生的条件下B发生的概率为P′,则由A产生B的概率为PP′,根据这一规律解答下题:一种掷硬币走跳棋的游戏:棋盘上有第0,1,2,3,…,100,共101站,设棋子跳到第n站的概率为Pn,一枚棋子开始在第0站(即P0=1),由棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若硬币出现正面则棋子向前跳动一站,出现反面则向前跳动两站,直到棋子跳到第99站(获胜)或100站(失败)时,游戏结束.已知硬币出现正反面的概率都为.
(1)求P1,P2,P3,并根据棋子跳到第n+1站的情况,试用Pn,Pn-1表示Pn+1;
(2)设an=Pn-Pn-1(1≤n≤100),求证:数列{an}是等比数列,并求出{an}的通项公式;
(3)求玩该游戏获胜的概率.
正确答案
(1)根据题意,棋子跳到第n站的概率为Pn,
则P1即棋子跳到第一站,有一种情况,即掷出正面,故P1=,
P2即棋子跳到第2站,有2种情况,即两次掷出正面或一次掷出反面,则P2=P0+P1=,
P3即棋子跳到第3站,有2种情况,即在第1站掷出反面,或在第2站掷出正面,则P3=P1+P2=
故Pn+1即棋子跳到第n站,有2种情况,即在第n-1站掷出反面,或在第n站掷出正面,则Pn+1=Pn+Pn-1
(2)由(1)知:Pn+1=Pn+Pn-1,
∴Pn+1-Pn=-(Pn-Pn-1),
∴{Pn-Pn-1}表示等比数列,其公比为-
又a1=P1-P0=-,
∴an=(-)n,1≤n≤100;
(3)玩该游戏获胜,即求P99
由(2)知,Pn-Pn-1=(-
1
2
)n(2≤n≤100),
∴P2-P1=,
P3-P2=-,…
Pn-Pn-1=(-
1
2
)n(2≤n≤100),
∴Pn-P1=-+…+(-
1
2
)n
∴Pn-P1=
∴Pn=[1-×(-
1
2
)n-1]
∴n=99时,P99=[1-(
1
2
)100].
已知直线:,直线:,其中,.
(1)求直线的概率;
(2)求直线与的交点位于第一象限的概率.
正确答案
(1)(2)
(1)解:直线的斜率,直线的斜率.
设事件为“直线”.
,的总事件数为,,…,,,,…,,…,,共36种.
若,则,即,即.
满足条件的实数对有、、共三种情形.
所以.
答:直线的概率为.
(2)解:设事件为“直线与的交点位于第一象限”,由于直线与有交点,则.
联立方程组解得
因为直线与的交点位于第一象限,则
即解得.
,的总事件数为,,…,,,,…,,…,,共36种.
满足条件的实数对有、、、、、共六种.
所以.
答:直线与的交点位于第一象限的概率为.
某校要组建篮球队,需要在各班选拔预备队员,规定投篮成绩一级的可作为入围选手,选拔过程中每人最多投篮5次,且规定在确认已经入围后则不必再投篮.若投中2次则确定为二级,若投中3次可确定为一级.已知根据以往的技术统计,某班同学王明每次投篮投中的概率是,每次投篮结果互不影响.
(1)求王明投篮3次才被确定为二级的概率;
(2)现在已知王明已经入围,在此条件下求他实际投篮5次才入围的概率.
正确答案
(1)设王明投篮3次才被确定为二级为事件A,
王明投篮3次才被确定为二级,即其前2次投篮中有一次投中,第3次投中,
故P(A)=×××=;
(2)设王明入围为事件B,他投篮5次为事件C,
则P(B)=1-()5-(
1
3
)4()=,
P(BC)=()()3×=,
故所求事件的概率为P(C|B)==
某工厂生产了一批产品共有20件,其中5件是次品,其余都是合格品,现不放回的从中依次抽取2件.求:
(1)第一次抽到次品的概率;
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率;
(3)在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率.
正确答案
设“第一次抽到次品”为事件A,“第二次都抽到次品”为事件B,事件A和事件B相互独立.
依题意得:
(1)第一次抽到次品的概率为P(A)==
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P(AB)==
(3)在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率为:P(B|A)==÷=
甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率是p2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )
正确答案
将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是 ( )
正确答案
据统计,大熊猫的平均寿命是12~20岁,一只大熊猫从出生起,活到10岁的概率为0.8,活到20岁的概率为0.4。北京动物园的大熊猫“妞妞”今年已经10岁了,它能活到20岁的概率为
[ ]
正确答案
甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报的纪录知,一年中下雨天甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%。则甲市为雨天,乙市也为雨天的概率为
[ ]
正确答案
有20件产品,其中5件是次品,其余都是合格品,现不放回的从中依次抽2件.求:(1)第一次抽到次品的概率;(2)第一次和第二次都抽到次品的概率;(3)在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率.
正确答案
设第一次抽到次品为事件A,第二次都抽到次品为事件B.
(1)根据题意,第一次抽取时共有20件产品,其中5件是次品,则第一次抽到次品的概率p(A)==.
(2)第一次抽取到次品后,共有19件产品,其中4件是次品,则第二次抽到次品的概率为,
故第一次和第二次都抽到次品的概率P(AB)=P(A)P(B)=
(3)由条件概率公式,在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率为÷=.
有20件产品,其中5件是次品,其余都是合格品,现不放回的从中依次抽2件.
求:
(1)第一次抽到次品的概率;
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率;
(3)在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率.
正确答案
(1)设第一次抽到次品为事件A,第二次抽到次品为事件B,
则第一次抽到次品的概率P(A)==.
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率
P(AB)=×=.
(3)在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率
P(B|A)===.
在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球.如果不放回地依次取两个球,则在第1次取到白球的条件下,第2次也取到白球的概率是______.
正确答案
设“第1次取到白球”为事件A,“第2次取到白球”为事件B,则P(A)= =,P(AB)==
∴P(B|A)==.
即在第1次取到白球的条件下,第2次也取到白球的概率为.
设A、B是两个事件,0<P(A)<1,P(|A)=1.
则下列结论:①P(AB)=0;②P(A+)=P(A);
③P()=P(B);④P(A)=P().其中正确的是________.
正确答案
①
由P(|A)=1,得P(B|A)=0,
即=0,所以P(AB)=0.
已知P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)=________.
正确答案
P(B|A)===.
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