- 计数原理
- 共11505题
某地自行车的牌照号码由六个数字组成，号码中每个数字可以是0到9这十个数字中的任一个．那么某人的一辆自行车牌照号码中六个数字中5恰好出现两次的概率是______（精确到0.0001）．
正确答案
0.0984
解析
解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的事件是每位数有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9种情况，
故6位数字的组合共有10×10×10×10×10×10=1000000种情况，
满足条件的事件是六个数字中5恰好出现两次，从6个位置中选出两个位置放数字5，有C62=15种结果，
其余4个数字要从除去5以外的9个数字中选择，共有94种结果，共有15×94=98415
∴要求的概率是
故答案为：0.0984
袋中有3个白球，2个红球和若干个黑球（球的大小均相同），从中任取2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，已知得0分的概率为
正确答案
4个
解析
解：设袋中黑球的个数为x个．
从袋中任取2个球，共有Cx+52=
取道两只黑球的情况有Cx2=
而当取到的两球均为黑球时，得分为0分，
∴得0分的概率为
∴x=4
故答案为4个
一袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，用X表示取出球的最大号码，求X的分布列．
正确答案
解：由题意知X的可能取值是3，4，5，6．
P（X=3）=
∴X的分布列为
解析
解：由题意知X的可能取值是3，4，5，6．
P（X=3）=
∴X的分布列为
某家电生产企业市场营销部对本厂生产的某种电器进行了市场调查，发现每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤2，则销售利润为0元；若2＜T≤3，则销售利润为100元；若T＞3，则销售利润为200元，设每台该种电器的无故障使用时间T≤2，2＜T≤3，T＞3这三种情况发生的概率分别是P1，
P2，P3，又知P1，P2是方程25x2-15x+a=0的两个根，且P2=P3．
（Ⅰ）求P1，P2，P3的值；
（Ⅱ）记X表示销售两台该种电器的销售利润总和，求X的分布列及期望．
正确答案
解：（1）由已知P1+P2+P3=1，
∵P2=P3，∴P1+2P2=1
∵P1，P2是方程25x2-15x+a=0的两个根，
∴P1+P2=
∴P1=
（2）X的可能取值为0，100，200，300，400，
P（X=0）=
P（X=100）=
P（X=200）=
P（X=300）=2×
P（X=400）=
∴随机变量X的分布列为
销售利润总和的期望为EX=0×+100×+200×+300×+400×=240元．
解析
解：（1）由已知P1+P2+P3=1，
∵P2=P3，∴P1+2P2=1
∵P1，P2是方程25x2-15x+a=0的两个根，
∴P1+P2=
∴P1=
（2）X的可能取值为0，100，200，300，400，
P（X=0）=
P（X=100）=
P（X=200）=
P（X=300）=2×
P（X=400）=
∴随机变量X的分布列为
销售利润总和的期望为EX=0×+100×+200×+300×+400×=240元．
（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．
正确答案
解：（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”
B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，
因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，
P（A2）=0.003×50=0.15，
P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，
（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
随机变量X的分布列为
因为X～B（3，0.6），
所以期望E（X）=3×0.6=1.8，
方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72．
解析
解：（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”
B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，
因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，
P（A2）=0.003×50=0.15，
P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，
（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
随机变量X的分布列为
因为X～B（3，0.6），
所以期望E（X）=3×0.6=1.8，
方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72．
某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为
（1）求该项技术量化得分不低于8分的概率；
（2）记该技术的兰个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．
正确答案
解：（1）设该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过量化检测合格分别为事件A，B，C．“该项技术量化得分不低于8分”表示为ABC+
∴P（ABC+
=
（II）该技术的三个指标中被检测合格的指标个数随机变量ξ的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=P
P（ξ=3）=p（ABC）=P（A）P（B）P（C）=
∴P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=1-
∴ξ的分布列为：
∴Eξ==．
解析
解：（1）设该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过量化检测合格分别为事件A，B，C．“该项技术量化得分不低于8分”表示为ABC+
∴P（ABC+
=
（II）该技术的三个指标中被检测合格的指标个数随机变量ξ的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=P
P（ξ=3）=p（ABC）=P（A）P（B）P（C）=
∴P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=1-
∴ξ的分布列为：
∴Eξ==．
有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，甲拿红色骰子随机投掷两次所得点数和记为ξ1，乙拿蓝色骰子随机投掷两次所得点数和记为ξ2，规定所得点数和较大者获胜．
（1）分别写出ξ1和ξ2的分布列（不要求写过程），并求Eξ1及Eξ2；
（2）问甲获胜的概率大还是乙获胜的概率大，并说明理由．
正确答案
解：（1）ξ1的分布如下：
Eξ1=
ξ2的其分布如下：
Eξ2=
（2）∵
乙能获胜的概率是
∵
∴甲获胜的概率大．
解析
解：（1）ξ1的分布如下：
Eξ1=
ξ2的其分布如下：
Eξ2=
（2）∵
乙能获胜的概率是
∵
∴甲获胜的概率大．
某班班会对新出台的三项规章制度A、B、C进行全班表决同意与否．同意A的占
正确答案
解析
解：设总人数为x人，则由题意
∵同意A的占
∵不同意ABC的人占
∵同意B不同意AC的人数与同意C不同意AB的人数及同意BC不同意A的人数相同，
∴同意B不同意AC的人数为
综上所述：x既为20的倍数又为6的倍数，则x至少为60．
∴该班人数至少有60人．
故选A．
某保险公司新开设了一项保险业务，规定该份保单在一年内如果事件E发生，则该公司要赔偿a元，假若在一年内E发生的概率为p，为使公司受益的期望值不低于a的
正确答案
（p+0.1）a
解析
解：用随机变量ξ表示此项业务的收益额，x表求顾客缴纳的保险金，
则ξ的所有可能取值为x，x-a，
且P（ξ=x）=1-p，P（ξ=x-a）=p，
∴Eξ=x（1-p）+（x-a）p=x-ap，
∵公司受益的期望值不低于a的
∴x-ap≥
∴x≥（p+0.1）a（元）．
故答案为：（p+0.1）a．
有一批产品，其中12件是正品，4件是次品，有放回的任取4件，若X表示取到次品的件数，则D（X）=（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵X～B（4，
∴DX=4×
故选：A．
有甲乙两个箱子，甲箱中有6个小球，其中1个标记0号，2个小球标记1号，3个小球标记2号；乙箱装有7个小球，其中4个小球标记0号，一个标记1号，2个标记2号．从甲箱中取一个小球，从乙箱中取2个小球，一共取出3个小球．求：
（1）取出的3个小球都是0号的概率；
（2）取出的3个小球号码之积是4的概率；
（3）取出的3个小球号码之积的分布列．
正确答案
解：（1）欲使取出3个小球都为0号，则必是在甲箱中取出0号球并且在乙箱中从4个0号球
中取出另外2个0号小球．
记A表示取出3个0号球则有：
（2）取出3个小球号码之积是4的情况有：
情况1：甲箱：1号，乙箱：2号，2号； 情况2：甲箱：2号，乙箱：1号，2号
记B表示取出3个小球号码之积为4，则有：P（B）=
（3）取出3个小球号码之积的可能结果有0，2，4，8
设X表示取出小球的号码之积，则有：
P（X=0）=
P（X=4）=
所以分布列为：
解析
解：（1）欲使取出3个小球都为0号，则必是在甲箱中取出0号球并且在乙箱中从4个0号球
中取出另外2个0号小球．
记A表示取出3个0号球则有：
（2）取出3个小球号码之积是4的情况有：
情况1：甲箱：1号，乙箱：2号，2号； 情况2：甲箱：2号，乙箱：1号，2号
记B表示取出3个小球号码之积为4，则有：P（B）=
（3）取出3个小球号码之积的可能结果有0，2，4，8
设X表示取出小球的号码之积，则有：
P（X=0）=
P（X=4）=
所以分布列为：
福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．
（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；
（Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．
正确答案
解：（I）设至少一张中奖为事件A，则P（A）=1-0.52=0.75…（4分）
（II）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5，0，-45，-145…（6分）
故ξ的分布列为
…（8分）
所以ξ的期望为Eξ=5×50%+0×（50%-2%-p）+（-45）×2%+（-145）×p=2.5-90%-145p…（11分）
所以当1.6-145p＞0时，即
所以当
解析
解：（I）设至少一张中奖为事件A，则P（A）=1-0.52=0.75…（4分）
（II）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5，0，-45，-145…（6分）
故ξ的分布列为
…（8分）
所以ξ的期望为Eξ=5×50%+0×（50%-2%-p）+（-45）×2%+（-145）×p=2.5-90%-145p…（11分）
所以当1.6-145p＞0时，即
所以当
（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）记0分，在[60，80）记1分，在[80，100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，
可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示
（2）平均分为
（3）学生成绩在[40，60）的有0.25×60=15人，
在[60，80）的有0.45×60=27人，
在[80，100）的有0.3×60=18人，
ξ的可能取值是0，1，2，3，4
则
所以ξ的分布列为：
∴
解析
有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，
可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示
（2）平均分为
（3）学生成绩在[40，60）的有0.25×60=15人，
在[60，80）的有0.45×60=27人，
在[80，100）的有0.3×60=18人，
ξ的可能取值是0，1，2，3，4
则
所以ξ的分布列为：
∴
（Ⅰ）求m的值并求星期日运动时间在[90，120]内的概率
（Ⅱ）若在第一组，第二组，第七组，第八组中共抽取3人调查影响星期日运动时间的原因，记抽到的“星期日运动时间少于60分钟”的学生人数为ξ，求ξ的分布列及期望．
正确答案
解：（Ⅰ）抽取的m名学生中星期日运动时间少于60分钟的概率为：（
∴m×
∴m=100
∴星期日运动时间在[90，120]内的概率为1-（
（Ⅱ）由图知：第一组1人，第二组4人，第七组10人，第八组5人，总计20人．
则ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=i）=
ξ的分布列为：
EX=0×+1×+2×+3×=．
解析
解：（Ⅰ）抽取的m名学生中星期日运动时间少于60分钟的概率为：（
∴m×
∴m=100
∴星期日运动时间在[90，120]内的概率为1-（
（Ⅱ）由图知：第一组1人，第二组4人，第七组10人，第八组5人，总计20人．
则ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=i）=
ξ的分布列为：
EX=0×+1×+2×+3×=．
在一次环保知识竞赛中，有6道选择题和2道判断题放在一起供抽取，某支代表队要抽3次，每次只抽一道题回答．
（Ⅰ）不放回的抽取试题，求恰好在第三次抽到判断题的概率；
（Ⅱ）有放回的抽取试题，求在三次抽取中抽到判断题的个数ξ 的概率分布及ξ 的期望．
正确答案
解：（Ⅰ）根据题意，有6道选择题和2道判断题放在一起供抽取，且不放回抽取，故恰好在第三次抽到判断题的概率为
（Ⅱ）∵有8道试题，其中6道选择题和2道判断题，某支代表队要抽3次，每次只抽一道题回答，有放回的抽取，
∴抽到的试题数ξ～B（3，0.25）
∴P（ξ=k）=C3k×0.25k×0.753-k（k=0，1，2，3）
∴ξ的分布列是
数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．
解析
解：（Ⅰ）根据题意，有6道选择题和2道判断题放在一起供抽取，且不放回抽取，故恰好在第三次抽到判断题的概率为
（Ⅱ）∵有8道试题，其中6道选择题和2道判断题，某支代表队要抽3次，每次只抽一道题回答，有放回的抽取，
∴抽到的试题数ξ～B（3，0.25）
∴P（ξ=k）=C3k×0.25k×0.753-k（k=0，1，2，3）
∴ξ的分布列是
数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．
扫码查看完整答案与解析