- 计数原理
- 共11505题
抛掷一颗骰子，设所的点数为ξ，则Dξ=______．
正确答案
解析
解：ξ的概率分布为（=）=
=
故答案为：
某涉及运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．
（1）若射击4次，每次击中目标的概率为0.5且相互独立，设ξ表示目标被击中的次数，求ξ的分布列和数字期望E（ξ）；
（2）若射击2次均击中目标，A表示事件“两次击中的部分不同”，求事件A发生的概率．
正确答案
解：（1）P（ξ=k）=
则P（ξ=0）=
则分布列为：
数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×=2．
（2）设Ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2，3，
Bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2，3，
则P（A1）=P（B1）=0.1，P（A2）=P（B2）=0.3，P（A3）=P（B3）=0.6，
∵A=A1B2+A1B3+A2B1+A2B3+A3B1+A3B2，
∴P（A）=P（A1B2）+P（A1B3）+P（A2B1）+P（A2B3）+P（A3B1）+P（A3B2）
=P（A1）P（B2）+P（A1）P（B3）+P（A2）P（B1）+P（A2）P（B3）+P（A3）P（B1）+P（A3）P（B2）
=0.1×0.3+0.1×0.6+0.3×0.1+0.3×0.6+0.6×0.1+0.6×0.3=0.54．
解析
解：（1）P（ξ=k）=
则P（ξ=0）=
则分布列为：
数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×=2．
（2）设Ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2，3，
Bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2，3，
则P（A1）=P（B1）=0.1，P（A2）=P（B2）=0.3，P（A3）=P（B3）=0.6，
∵A=A1B2+A1B3+A2B1+A2B3+A3B1+A3B2，
∴P（A）=P（A1B2）+P（A1B3）+P（A2B1）+P（A2B3）+P（A3B1）+P（A3B2）
=P（A1）P（B2）+P（A1）P（B3）+P（A2）P（B1）+P（A2）P（B3）+P（A3）P（B1）+P（A3）P（B2）
=0.1×0.3+0.1×0.6+0.3×0.1+0.3×0.6+0.6×0.1+0.6×0.3=0.54．
（理）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ=______．
（结果用最简分数表示）
正确答案
解析
解：（文）由三视图可得几何体是一个圆柱，并且得到圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，
所以圆柱的全面积是2×π 
（理）由题意可得：ξ可能取的值为0，1，2，
∴P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
∴Eξ=0×
故答案为：
某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交保险金为______．
正确答案
（0.1+p）a
解析
解：设公司应要求顾客交保险金为x元，
因为若在一年内事件E发生，公司赔偿a元，事件E发生的概率为p，
所以E（x）=p（x-a）+x（1-p）=
解得：x=（0.1+p）a．
故答案为：（0.1+p）a．
一个盒子装有标号为1，2，3，4，5，6且质地相同的标签各若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X，记P（X≤i）=P（X=1）+P（X=2）+…+P（X=i），i=1，2，…，6．若
（1）求a的值以及随机变量X的数学期望EX；
（2）有放回地每次抽取1张标签，求得到两张标签上的标号之和为4的概率．
正确答案
解：（1）∵
∴P（X≤6）=
∴a=1，
∴P（X≤i）=
当i≥2时，P（X=i）=P（X≤i）-P（X≤i-1）
=
当i=1时，验证也符合这个函数式，
总上可知P（X=i）=
∴EX=1×
（2）记第一次抽到1，第二次抽到3为事件A，
第一次抽到3，第二次抽到1为事件B，
第一次抽到2，第二次抽到2为事件C
三个事件关系为互斥事件，且第一次与第二次的抽取相互独立，
∴P（A）=P（X=1）P（X=3）=
P（B）=P（X=3）P（X=1）=
P（C）=P（X=2）P（X=2）=
∴要求的概率是P（A）+P（B）+P（C）=
即得到两张标签上的标号之和为4的概率为
解析
解：（1）∵
∴P（X≤6）=
∴a=1，
∴P（X≤i）=
当i≥2时，P（X=i）=P（X≤i）-P（X≤i-1）
=
当i=1时，验证也符合这个函数式，
总上可知P（X=i）=
∴EX=1×
（2）记第一次抽到1，第二次抽到3为事件A，
第一次抽到3，第二次抽到1为事件B，
第一次抽到2，第二次抽到2为事件C
三个事件关系为互斥事件，且第一次与第二次的抽取相互独立，
∴P（A）=P（X=1）P（X=3）=
P（B）=P（X=3）P（X=1）=
P（C）=P（X=2）P（X=2）=
∴要求的概率是P（A）+P（B）+P（C）=
即得到两张标签上的标号之和为4的概率为
（2015秋•永年县期末）设有5件产品，其中含有2件次品，从中任意抽取3件进行检查，
（1）求取出的3件中恰有一个次品的概率；
（2）求抽得的产品中所含的次品数ξ的概率分布．
正确答案
解：（1）设A表示事件“取出的3件中恰有一个次品”，…（1分）
P（A）=
（2）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，…（3分）
并且P（ξ=0）=
所以ξ的概率分布为
…（7分）
解析
解：（1）设A表示事件“取出的3件中恰有一个次品”，…（1分）
P（A）=
（2）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，…（3分）
并且P（ξ=0）=
所以ξ的概率分布为
…（7分）
已知袋内有标有1～6数字的小球6个，球除标号不同外完全相同，甲、乙两人玩“摸球赢枣”的游戏，由丙做裁判，游戏规定由丙从袋中有放回的摸三次球，记第1、2、3次摸到的球的标号分别为a，b，c，然后将所得的数代入函数f（x）=ax2+bx+c，若所得到的函数无零点，则甲输一个枣给乙，若所得到的函数有零点，则乙输四个枣给甲．
（Ⅰ）记函数的零点的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据两人得枣的数学期望，该游戏公平吗？若不公平，谁吃亏？
正确答案
（Ⅰ）解：ξ的可能取值为0，1，2．f（x）=ax2+bx+c的判别式△=b2-4ac，
当△=0时，b为偶数，b=2时，a=1，c=1；
b=4时，a=1，c=4或a=2，c=2或a=4，c=1；
b=6时，a=3，c=3，
∴P（ξ=1）=
有b≥3，b=3时，ac≤2，有3种；
b=4时，ac≤4，有9种；b=5时，ac≤6，
有14种；b=6时，ac≤9，有17种，共计43种．
∴ξ=1的情形有43-5=38种，
∴P（ξ=2）=
P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为：
数学期望Eξ=．
（Ⅱ）甲得枣的数学期望是，
乙得枣的数学期望是．
∴该游戏不公平，甲吃亏．
解析
（Ⅰ）解：ξ的可能取值为0，1，2．f（x）=ax2+bx+c的判别式△=b2-4ac，
当△=0时，b为偶数，b=2时，a=1，c=1；
b=4时，a=1，c=4或a=2，c=2或a=4，c=1；
b=6时，a=3，c=3，
∴P（ξ=1）=
有b≥3，b=3时，ac≤2，有3种；
b=4时，ac≤4，有9种；b=5时，ac≤6，
有14种；b=6时，ac≤9，有17种，共计43种．
∴ξ=1的情形有43-5=38种，
∴P（ξ=2）=
P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为：
数学期望Eξ=．
（Ⅱ）甲得枣的数学期望是，
乙得枣的数学期望是．
∴该游戏不公平，甲吃亏．
设随机变量X的分布列如下：
若数学期望E（X）=10，则方差D（X）=______．
正确答案
35
解析
解：∵E（X）=0×0.1+5α+10β+20×0.2=10，化为5α+10β=6．
又0.1+α+β+0.2=1，联立
∵D（X）=
故答案为35．
某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数）：
（Ⅰ）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？
（Ⅱ）进一步调查：
（i）从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；
（ii）从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X，求X的分布列和均值．
附：
正确答案
解：（I ）由题设知
由此知：有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关．
（Ⅱ）（i）记题设事件为A，
则P（A）=
（ii）根据题意，X服从超几何分布，
P（X=k）=
∴X的分而列为：
∴EX==1．
解析
解：（I ）由题设知
由此知：有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关．
（Ⅱ）（i）记题设事件为A，
则P（A）=
（ii）根据题意，X服从超几何分布，
P（X=k）=
∴X的分而列为：
∴EX==1．
甲乙两人约定以“五局三胜”制进行乒乓球比赛，比赛没有平局，设甲在每局中获胜的概率为
（I）求甲获胜的概率；（用分数作答）
（Ⅱ）设比赛总的局数为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．（用分数作答）
正确答案
解：（I）甲获胜的概率
（Ⅱ）由题设知：ξ=3，4，5，
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
∵ξ的分布列为：
∴
解析
解：（I）甲获胜的概率
（Ⅱ）由题设知：ξ=3，4，5，
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
∵ξ的分布列为：
∴
从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是______．
正确答案
解析
解：由题意知本题是一个超几何分步，随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，ξ可能取的值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=
∴ξ的数学期望为Eξ=0×
故答案为：
已知随机变量X的分布列为
正确答案
解析
解：由条件中所给的随机变量的分布列可知
EX=1×0.2+2×0.4+3×0.4=0.2+0.8+1.2=2.2，
∵E（6X+8）=6EX+8
∴E（6X+8）=6×2.2+8=13.2+8=21.2．
故选B．
已知随机变量X的分布列为P（X=k）=
正确答案
解析
解：由题意，E（X）=（1+2+3）×
∴D（X）=[（1-2）2+（2-2）2+（3-2）2]×
∴D（3X+5）=9D（X）=9×
故选A．
抛掷2颗均匀的骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功的次数的期望是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：在一次实验中，
成功的概率为：1-
故在10次试验中，成功的次数的期望为
10×
故选C．
某部队进行射击训练，每个学员最多只能射击4次，学员如有2次命中目标，那么就不再继续射击；假设某学员每次命中目标的概率都是
（1）求该学员在前两次射击中至少有一次命中目标的概率；
（2）记该学员射击的次数为X，求X的分布列及X的数学期望．
正确答案
解：（1）记“该学员在前两次射击中至少有一次命中目标”的事件为事件A，则
答：该学员在前两次射击中至少有一次命中目标的概率为
（2）该学员射击的次数X可能取值为2，3，4，
且
故的分布列为：
…（7分）
所以X的数学期望：．…（10分）
解析
解：（1）记“该学员在前两次射击中至少有一次命中目标”的事件为事件A，则
答：该学员在前两次射击中至少有一次命中目标的概率为
（2）该学员射击的次数X可能取值为2，3，4，
且
故的分布列为：
…（7分）
所以X的数学期望：．…（10分）
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