- 计数原理
- 共11505题
（Ⅰ）求P（2，1），P（3，2）的值，并猜想P（n，m）的表达式．（不必证明）
（Ⅱ）设小弹子落入第6层第m个竖直通道得到分数为ξ，其中ξ=
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知，
P（2，1）=
P（3，2）=
∴P（m，n）=
（Ⅱ）由题意知变量ξ的可能取值是3，2，1
P（ξ=3）=
P（ξ=2）=
P（ξ=1）=
∴ξ的分布列是
∴Eξ=3×
解析
解：（Ⅰ）由题意知，
P（2，1）=
P（3，2）=
∴P（m，n）=
（Ⅱ）由题意知变量ξ的可能取值是3，2，1
P（ξ=3）=
P（ξ=2）=
P（ξ=1）=
∴ξ的分布列是
∴Eξ=3×
某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为
（Ⅰ）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求ξ的期望Eξ；
（Ⅱ）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）依题意，ξ的可能取值为1，0，-1
当ξ=1时，P（ξ=1）=
当ξ=0时，P（ξ=0）=
当ξ=-1时，P（ξ=1）=
故Eξ=
故答案为
（Ⅱ）设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布为
当η=2时，P（η=2）=α
当η=-2时，P（η=-2）=β
则Eη=2α-2β=4α-2．
依题意要求
即：
故答案为
解析
解：（Ⅰ）依题意，ξ的可能取值为1，0，-1
当ξ=1时，P（ξ=1）=
当ξ=0时，P（ξ=0）=
当ξ=-1时，P（ξ=1）=
故Eξ=
故答案为
（Ⅱ）设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布为
当η=2时，P（η=2）=α
当η=-2时，P（η=-2）=β
则Eη=2α-2β=4α-2．
依题意要求
即：
故答案为
红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行篮球比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一场，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.4，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
（1）求红队至少两名队员获胜的概率；
（2）设ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则
因为P（D）=0.4，P（E）=0.5，P（F）=0.5
由对立事件的概率公式知P（
红队至少两人获胜的事件有：
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为P=P（
=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.45…（6分）
（2）依题意可知ξ=0，1，2，3，
P（ξ=3）=P（DEF）=0.4×0.5×0.5=0.1…（10分）
故ξ的分布列为
故Eξ=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4…（12分）
解析
解：（1）设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则
因为P（D）=0.4，P（E）=0.5，P（F）=0.5
由对立事件的概率公式知P（
红队至少两人获胜的事件有：
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为P=P（
=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.45…（6分）
（2）依题意可知ξ=0，1，2，3，
P（ξ=3）=P（DEF）=0.4×0.5×0.5=0.1…（10分）
故ξ的分布列为
故Eξ=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4…（12分）
某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意的连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．
正确答案
解：依题意，随机变量ξ～B（2，5%）．
所以，P（ξ=0）=C20（95%）2=0.9025，
P（ξ=1）=C21（5%）（95%）=0.095
P（ξ=2）=C22（5%）2=0.0025
因此，次品数ξ的概率分布是：
解析
解：依题意，随机变量ξ～B（2，5%）．
所以，P（ξ=0）=C20（95%）2=0.9025，
P（ξ=1）=C21（5%）（95%）=0.095
P（ξ=2）=C22（5%）2=0.0025
因此，次品数ξ的概率分布是：
某射击运动员射击一次所得的环数与概率的关系如下表所示
现进行两次射击，每次射击互不影响，
（1）求该运动员两次射击中至少有一次命中8环的概率；
（2）求两次射击环数总和ξ不小于17的概率．
正确答案
解：（1）记该运动员两次射击中至少有一次命中8环为事件A
该运动员两次射击中恰有一次命中8环的概率P1=2×0.4×0.6=0.48；
该运动员两次射击都命中8环的概率P2=0.4×0.4=0.16
∴P（A）=P1+P2=0.64；
（2）由已知得：P（ξ=17）=2×0.4×0.4+2×0.1×0.1=0.34
P（ξ=18）=2×0.4×0.1+0.4×0.4=0.24
P（ξ=19）=2×0.4×0.1=0.08
P（ξ=20）=0.1×0.1=0.01
∴P（ξ≥17）=P（ξ=17）+P（ξ=18）+P（ξ=19）+P（ξ=20）=0.67
解析
解：（1）记该运动员两次射击中至少有一次命中8环为事件A
该运动员两次射击中恰有一次命中8环的概率P1=2×0.4×0.6=0.48；
该运动员两次射击都命中8环的概率P2=0.4×0.4=0.16
∴P（A）=P1+P2=0.64；
（2）由已知得：P（ξ=17）=2×0.4×0.4+2×0.1×0.1=0.34
P（ξ=18）=2×0.4×0.1+0.4×0.4=0.24
P（ξ=19）=2×0.4×0.1=0.08
P（ξ=20）=0.1×0.1=0.01
∴P（ξ≥17）=P（ξ=17）+P（ξ=18）+P（ξ=19）+P（ξ=20）=0.67
（Ⅰ）估计居民月收入在[1500，2000）的概率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（Ⅲ）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在[1500，2000）的居民数X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意，居民月收入在[1500，2000）的概率约为1-（0.0002+0.0001+0.0003+0.0005×2）×500=1-0.0016×500=1-0.8=0.2．
（Ⅱ）由频率分布直方图知，中位数在[2000，2500），
设中位数为x，则0.0002×500+0.2+0.0005（x-2000）=0.5，解得x=2400．
（Ⅲ）居民月收入在[1000，2000）的概率为0.0002×500+0.2=0.3，
由题意知，X～B（3，0.3），
因此
故随机变量X的分布列为
X的数学期望为3×0.3=0.9．
解析
解：（Ⅰ）由题意，居民月收入在[1500，2000）的概率约为1-（0.0002+0.0001+0.0003+0.0005×2）×500=1-0.0016×500=1-0.8=0.2．
（Ⅱ）由频率分布直方图知，中位数在[2000，2500），
设中位数为x，则0.0002×500+0.2+0.0005（x-2000）=0.5，解得x=2400．
（Ⅲ）居民月收入在[1000，2000）的概率为0.0002×500+0.2=0.3，
由题意知，X～B（3，0.3），
因此
故随机变量X的分布列为
X的数学期望为3×0.3=0.9．
某员工参加3项技能测试（技能测试项目的顺序固定），假设该员工在每一项技能测试中获得优秀的概率均为0.9，且不同技能测试是否获得优秀相互独立．该员工所在公司规定：三项均获得优秀则奖励3千元，有2项获得优秀奖励2千元，一项获得优秀奖励1千元，没有项目获得优秀则没有奖励．记ξ为该员工通过技能测试获得的奖励金（单位：元）．
（Ⅰ）求该员工通过技能测试可能获得奖励金ξ的分布列；
（Ⅱ）求该员工通过技能测试可能获得的奖励金ξ的均值．
正确答案
解：由题意ξ可能值为0，1000，2000，3000
P（ξ=0）=0.13=0.001
P（ξ=1000）=C310.12×0.9=0.027
P（ξ=2000）=C320.1×0.92=0.243
P（ξ=3000）=C330.93=0.729
（Ⅰ）该员工通过技能测试可能获得奖励金ξ的分布列
（II）员工通过技能测试可能获得的奖励金ξ的均值为：
1000×0.027+2000×0.243+3000×0.729=2700
解析
解：由题意ξ可能值为0，1000，2000，3000
P（ξ=0）=0.13=0.001
P（ξ=1000）=C310.12×0.9=0.027
P（ξ=2000）=C320.1×0.92=0.243
P（ξ=3000）=C330.93=0.729
（Ⅰ）该员工通过技能测试可能获得奖励金ξ的分布列
（II）员工通过技能测试可能获得的奖励金ξ的均值为：
1000×0.027+2000×0.243+3000×0.729=2700
同时抛掷4枚均匀的硬币3次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ）
A
B
C
D1
正确答案
解析
解：事件“4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上”的概率为
P=C42•（
由此可得P（ξ=0）=C30•（1-
P（ξ=1）=C31•
P（ξ=2）=C32•（
P（ξ=3）=C33•（
由此可得Eξ=0×
故选B．
（理）袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：
（1）随机变量ξ的概率分布；
（2）随机变量ξ的数学期望与方差．
正确答案
解：（理） （1）随机变量ξ可取的值为2，3，4．…..（2分）
得随机变量ξ的概率分布律为：
…..（9分）
（2）随机变量ξ的数学期望为：；…．（10分）
随机变量ξ的方差为…..（12分）
解析
解：（理） （1）随机变量ξ可取的值为2，3，4．…..（2分）
得随机变量ξ的概率分布律为：
…..（9分）
（2）随机变量ξ的数学期望为：；…．（10分）
随机变量ξ的方差为…..（12分）
某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择：
投资A项目一年后获得的利润X1（万元）的概率分布列如下表所示：
且X1的数学期望E（X1）=12；
投资B项目一年后获得的利润X2（万元）与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1-p．经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数X（次）与X2的关系如下表所示：
（1）求a，b的值；
（2）求X2的分布列；
（3）若E（X1）＜E（X2），则选择投资B项目，求此时 p的取值范围．
正确答案
解：（1）由题意得：
解得：a=0.5，b=0.1．…（3分）
（2）X2的可能取值为4.12，11.76，20.40．…（4分）
P（X2=4.12）=（1-p）[1-（1-p）]=p（1-p），…（5分）
P（X2=20.40）=p（1-p）．…（8分）
所以X2的分布列为：
…（9分）
（3）由（2）可得：
=-p2+p+11.76．…（11分）
因为E（X1）＜E（X2），
所以12＜-p2+p+11.76．
所以0.4＜p＜0.6．
当选择投资B项目时，p的取值范围是（0.4，0.6）．…（12分）
解析
解：（1）由题意得：
解得：a=0.5，b=0.1．…（3分）
（2）X2的可能取值为4.12，11.76，20.40．…（4分）
P（X2=4.12）=（1-p）[1-（1-p）]=p（1-p），…（5分）
P（X2=20.40）=p（1-p）．…（8分）
所以X2的分布列为：
…（9分）
（3）由（2）可得：
=-p2+p+11.76．…（11分）
因为E（X1）＜E（X2），
所以12＜-p2+p+11.76．
所以0.4＜p＜0.6．
当选择投资B项目时，p的取值范围是（0.4，0.6）．…（12分）
若盒中装有同一型号的灯泡共10只，其中有8只合格品，2只次品．
（Ⅰ）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；
（Ⅱ）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数x的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设一次取次品记为事件A，由古典概型概率公式得：
有放回连续取3次，其中2次取得次品记为事件B，由独立重复试验得：
（Ⅱ）依据知X的可能取值为1，2，3．
且
则X的分布列如下表：
∴．
解析
解：（Ⅰ）设一次取次品记为事件A，由古典概型概率公式得：
有放回连续取3次，其中2次取得次品记为事件B，由独立重复试验得：
（Ⅱ）依据知X的可能取值为1，2，3．
且
则X的分布列如下表：
∴．
甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，记ξ=|a-b|．
（I）求ξ的分布列及期望；
（II）若ξ≤1，则称“甲乙心有灵犀”，求“甲乙心有灵犀”的概率．
正确答案
解：（I）由题意知ξ可能取的值为0，1，2，3，4，5，
当变量取值是0时，表示a和b取值相同，有6种情况，而所有事件有6×6种，
根据古典概型的概率公式得到结果，
∴ξ的分布列为
（II）变量小于等于1，表示变量取0或变量取1，
这两个事件是互斥事件，根据互斥事件的概率公式和前面做出的分布列，得到结果，
解析
解：（I）由题意知ξ可能取的值为0，1，2，3，4，5，
当变量取值是0时，表示a和b取值相同，有6种情况，而所有事件有6×6种，
根据古典概型的概率公式得到结果，
∴ξ的分布列为
（II）变量小于等于1，表示变量取0或变量取1，
这两个事件是互斥事件，根据互斥事件的概率公式和前面做出的分布列，得到结果，
近年来，随着地方经济的发展，劳务输出大省四川、河南、湖北、安徽等地的部分劳务人员选择了回乡就业，因而使得沿海地区出现了一定程度的用工荒．今年春节过后，沿海某公司对来自上述四省的务工人员进行了统计（如表）：
为了更进一步了解员工的来源情况，该公司采用分层抽样的方法从上述四省务工人员中随机抽取50名参加问卷调查．
（1）从参加问卷调查的50名务工人员中随机抽取两名，求这两名来自同一省份的概率；
（2）在参加问卷调查的50名务工人员中，从来自四川、湖北两省的人员中随机抽取两名，用ξ表示抽得四川省务工人员的人数，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）由题意知，从上述四省抽取的人数分别为15，20，10，5．…（2分）
设“从参加问卷调查的50名务工人员中随机抽取两名，这两名人员来自同一个省份”为事件M，
从参加问卷调查的50名务工人员中随机抽取两名的取法共有
这两名人员来自同一省份的取法共有
∴P（M）=
（2）由（1）知，在参加问卷调查的50名务工人员中，来自四川、湖北两省的人员人数分别为15，10．
ξ的可能取值为0，1，2，…（7分）
P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=0×+1×+2×+=1.2…（12分）
解析
解：（1）由题意知，从上述四省抽取的人数分别为15，20，10，5．…（2分）
设“从参加问卷调查的50名务工人员中随机抽取两名，这两名人员来自同一个省份”为事件M，
从参加问卷调查的50名务工人员中随机抽取两名的取法共有
这两名人员来自同一省份的取法共有
∴P（M）=
（2）由（1）知，在参加问卷调查的50名务工人员中，来自四川、湖北两省的人员人数分别为15，10．
ξ的可能取值为0，1，2，…（7分）
P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=0×+1×+2×+=1.2…（12分）
①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），
⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），
得到频率分布直方图如下．已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人；
（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；
（2）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：
是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？
参考公式：
参考列表：
（3）若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望．
正确答案
则由图可知：P1=
∴学习时间少于60钟的频率为：P1+P2=
由题n×
又P3=
P6=
P8=
∴P4=1-（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）
=1-
第④组的高度h=
频率分布直方图如图：（未标明高度1/120扣1分）…（4分）
（2）K2=
由于K2＞3.841，
P（K2≥3.841）=0.05；
所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关…（8分）
（3）由（1）知：第①组1人，
第②组4人，第⑦组10人，第⑧组5人，总计20人．
则X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X=i）=
∴P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列为：
EX=0×+1×+2×+3×===．
解析
则由图可知：P1=
∴学习时间少于60钟的频率为：P1+P2=
由题n×
又P3=
P6=
P8=
∴P4=1-（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）
=1-
第④组的高度h=
频率分布直方图如图：（未标明高度1/120扣1分）…（4分）
（2）K2=
由于K2＞3.841，
P（K2≥3.841）=0.05；
所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关…（8分）
（3）由（1）知：第①组1人，
第②组4人，第⑦组10人，第⑧组5人，总计20人．
则X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X=i）=
∴P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列为：
EX=0×+1×+2×+3×===．
已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ．
正确答案
解：由题意知每次取1件产品，
∴至少需2次，即ξ最小为2，有2件次品，
当前2次取得的都是次品时，ξ=4，
∴ξ可以取2，3，4
当变量是2时，表示第一次取出正品，第二次取出也是正品，
根据相互独立事件同时发生的概率公式得到
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=1-
∴ξ的分布列如下：
Eξ=2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）+4×P（ξ=4）=．
解析
解：由题意知每次取1件产品，
∴至少需2次，即ξ最小为2，有2件次品，
当前2次取得的都是次品时，ξ=4，
∴ξ可以取2，3，4
当变量是2时，表示第一次取出正品，第二次取出也是正品，
根据相互独立事件同时发生的概率公式得到
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=1-
∴ξ的分布列如下：
Eξ=2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）+4×P（ξ=4）=．
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