- 计数原理
- 共11505题
某中学高三进行野外生存训练，训练场地有三个通道，训练时每个人都要经过一道关卡．首次到达关卡时，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则用时1小时后你回到大本营；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回该关卡．再次到达关卡时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至你回到大本营为止．令ξ表示你回到大本营所花的时间，
（1）求ξ的分布列；
（2）求你所花时间ξ的期望．
正确答案
解：（1）由题意，必须要走到1号门才能走出，若首次到达1号通道，则ξ的取值为1；若首次到达2号通道，再次到达1号通道，则ξ的取值为3；若首次到达2号通道，再次到达3号通道，最后到达1号通道，则ξ的取值为6；同理若首次到达3号通道时，ξ的取值可为4或6，故ξ可能的取值为1，3，4，6，
P（ξ=1）=
∴ξ的分布列为：
（2）Eξ=1×
解析
解：（1）由题意，必须要走到1号门才能走出，若首次到达1号通道，则ξ的取值为1；若首次到达2号通道，再次到达1号通道，则ξ的取值为3；若首次到达2号通道，再次到达3号通道，最后到达1号通道，则ξ的取值为6；同理若首次到达3号通道时，ξ的取值可为4或6，故ξ可能的取值为1，3，4，6，
P（ξ=1）=
∴ξ的分布列为：
（2）Eξ=1×
有一道数学题，在半小时内，甲学生能解决它的概率是
（1）求ξ的期望；
（2）此题得到解决的概率．
正确答案
解：（1）由题意知变量的可能取值是0，1，2
∴变量的分布列是：
P（ξ=0）=（1-
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
∴Eξ=1×
（2）由上一问可知，此题得到解决的概率是
P=P（ξ=1）+P（ξ=2）=
解析
解：（1）由题意知变量的可能取值是0，1，2
∴变量的分布列是：
P（ξ=0）=（1-
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
∴Eξ=1×
（2）由上一问可知，此题得到解决的概率是
P=P（ξ=1）+P（ξ=2）=
某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从B中抽出（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为：
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，
则X的可能取值为：1，2，3，
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
X的分布列：
和数学期望EX=1×=2．
解析
解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从B中抽出（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为：
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，
则X的可能取值为：1，2，3，
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
X的分布列：
和数学期望EX=1×=2．
某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计11月份30天内的拥堵天数．东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天，15天，9天，15天．假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率．
（I）求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；
（Ⅱ）设翻乏示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A，B，C，D．
则P（A）=
设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M，则
M=
则P（M）=
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
ξ的分布列为：
E（ξ）=0×+3×+4×=．…（12分）
解析
解：（Ⅰ）设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A，B，C，D．
则P（A）=
设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M，则
M=
则P（M）=
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
ξ的分布列为：
E（ξ）=0×+3×+4×=．…（12分）
某科研所为进一步改良某种植物品种，对该植物的两个品种（分别称为品种A和品种B）进行试验，选取两大片水塘，每大片水塘分成n小片水塘，在总共2n小片水塘中，随机选n小片水塘种植品种A，另外n小片水塘种植品种B．
（1）若n=2，求植物的品种A恰好在同一大片水塘种植的概率；
（2）若n=4，在第一大片水塘中，种植品种A的小片水塘的数目记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是设第一大块地中的两小块地编号为1，2．
第二大块地中的两小块地编号为3，4
令事件A=“植物的品种A恰好在同一大片水塘种植”
从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个
（1，2），（1，3），（1.4），（2，3），（2，4），（3，4）
而事件A包含2个基本事件：（1，2），（3，4）
∴P（A）=
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，4．
即ξ的分布列为
故ξ的数学期望为×=2
解析
解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是设第一大块地中的两小块地编号为1，2．
第二大块地中的两小块地编号为3，4
令事件A=“植物的品种A恰好在同一大片水塘种植”
从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个
（1，2），（1，3），（1.4），（2，3），（2，4），（3，4）
而事件A包含2个基本事件：（1，2），（3，4）
∴P（A）=
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，4．
即ξ的分布列为
故ξ的数学期望为×=2
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物，2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境质量标准》，其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
（Ⅰ）求该样本的平均数的估计值，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进，并说明理由；
（Ⅱ）从这40天中，随机抽取2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合《环境空气质量标》的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．
正确答案
解：（Ⅰ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．
因为40.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进；
（Ⅱ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P（A）=0.9
随机变量ξ的可能取值为0，1，2．且ξ～B（2，0.9）．
所以P（ξ=k）=
所以变量ξ的分布列为
Eξ=0×0.01+1×0.18+2×0.81=1.8．
解析
解：（Ⅰ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．
因为40.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进；
（Ⅱ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P（A）=0.9
随机变量ξ的可能取值为0，1，2．且ξ～B（2，0.9）．
所以P（ξ=k）=
所以变量ξ的分布列为
Eξ=0×0.01+1×0.18+2×0.81=1.8．
一个袋子中有3个新球和7个旧球，逐个从袋中取球，直到取到旧球时停止．若新球取出打过比赛，则认为取出的新球变为旧球．记X为取球的次数，设袋中每个球被取到的可能性相同．在下面两种情况下分别求出X的概率分布：
（1）每次取出的球都不放回袋中；（2）每次取出一球后打比赛，赛完后放回袋中．
正确答案
解：（1）随机变量X的可能取值为1，2，3，4．X=1表示第1次就取到旧球，
X=2表示第1次取到新球，第2次取到旧球，
X=3表示第1、2次取到新球，第3次取到旧球，
X=4表示第1、2、3次取到新球，第4次取到旧球，
∴X的分布表为：
（2）随机变量X的可能取值为1，2，3，4．
X=1表示第1次就取到旧球，；
X=2表示第1次取到新球，第2次取到旧球，；
X=3表示第1、2次取到新球，第3次取到旧球，；
X=4表示第1、2、3次取到新球，第4次取到旧球，．
∴X的分布列为：
解析
解：（1）随机变量X的可能取值为1，2，3，4．X=1表示第1次就取到旧球，
X=2表示第1次取到新球，第2次取到旧球，
X=3表示第1、2次取到新球，第3次取到旧球，
X=4表示第1、2、3次取到新球，第4次取到旧球，
∴X的分布表为：
（2）随机变量X的可能取值为1，2，3，4．
X=1表示第1次就取到旧球，；
X=2表示第1次取到新球，第2次取到旧球，；
X=3表示第1、2次取到新球，第3次取到旧球，；
X=4表示第1、2、3次取到新球，第4次取到旧球，．
∴X的分布列为：
某农民在一块耕地上种植一种作物，每年种植成本为800元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（Ⅰ）设X表示该农民在这块地上种植1年此作物的利润，求X的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3年种植此作物，求这3年中第二年的利润少于第一年的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，
则P（A）=0.5，P（B）=0.6，
∵利润=产量×市场价格-成本，
∴X的所有值为：500×10-800=4200，500×6-800=2200，300×10-800=2200，300×6-800=1000，
则P（X=4200）=P（
P（X=2200）=P（
P（X=1000）=P（A）P（B）=0.5×0.6=0.3，
则X的分布列为：
（Ⅱ）这3年中第二年的利润少于第一年的概率为P（X=2000）P（X=1000）+P（X=4200）P（X=1000）+P（X=4200）P（X=2200）=0.31．
解析
解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，
则P（A）=0.5，P（B）=0.6，
∵利润=产量×市场价格-成本，
∴X的所有值为：500×10-800=4200，500×6-800=2200，300×10-800=2200，300×6-800=1000，
则P（X=4200）=P（
P（X=2200）=P（
P（X=1000）=P（A）P（B）=0.5×0.6=0.3，
则X的分布列为：
（Ⅱ）这3年中第二年的利润少于第一年的概率为P（X=2000）P（X=1000）+P（X=4200）P（X=1000）+P（X=4200）P（X=2200）=0.31．
某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分，答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为
正确答案
解析
解：设该生在面试时的得分为X，由题设条件知X的可能取值为-15，0，15，30，
P（X=-15）=
P（X=0）=
P（X=15）=
P（X=30）=
∴EX=-15×
∴该学生在面试时得分的期望值为
故答案为：
一个袋中装有7个大小相同的球，其中红球有4个，编号分别为1，2，3，4；蓝球3个，编号为2，4，6，现从袋中任取3个球（假设取到任一球的可能性相同）．
（I）求取出的3个球中，含有编号为2的球的概率；
（Ⅱ）记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ） 设“取出的3个球中，含有编号为2的球”为事件A，则
从盒子中取出3个球，基本事件总数n=C73=35，
其中含有2号球的基本事件个数m=C21C52+C22C51=25，
∴取出的3个球中，含有编号为2的球的概率
（Ⅱ）ξ所有可能取值为0，1，2，3．…（6分）
P（ξ=0）=
所以随机变量ξ的分布列是
随机变量ξ的数学期望Eξ=1×+2×+3×=．…（14分）
解析
解：（Ⅰ） 设“取出的3个球中，含有编号为2的球”为事件A，则
从盒子中取出3个球，基本事件总数n=C73=35，
其中含有2号球的基本事件个数m=C21C52+C22C51=25，
∴取出的3个球中，含有编号为2的球的概率
（Ⅱ）ξ所有可能取值为0，1，2，3．…（6分）
P（ξ=0）=
所以随机变量ξ的分布列是
随机变量ξ的数学期望Eξ=1×+2×+3×=．…（14分）
某公司规定：一个工人在一个季度里有一个月完成任务，则可得奖金90元；如果有两个月完成任务，则可得奖金210元；如果有三个月完成任务，则可得奖金330元；如果三个月都未完成任务，则不得奖金．假如某工人每月能否完成任务是等可能的，则这个工人在一个季度所得的平均奖金为______元．
正确答案
153.75
解析
解：设该工人一个季度完成的月份有ξ个，
则列出概率分布如下，
故数学期望为E（ξ）=90×+210×+330×=153.75，
故答案为：153.75．
出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是
正确答案
解析
解：由题意，ξ～B（6，
∴DDξ=6×
故答案为：
有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币，其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为
（1）求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率；
（2）若用ξ表示小华抛得正面的个数，求ξ的分布列和数学期望；
（3）求小华和小红抛得正面个数相同（包括0个）的概率．
正确答案
解：（1）设A表示事件“小华抛得一个正面两个反面”，
B表示事件“小红抛得两个正面一个反面”，
则P（A）=
P（B）=
则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为
P（AB）=P（A）P（B）=
（2）由题意ξ的取值为0，1，2，3，且
所求随机变量ξ的分布列为
…（10分）
数学期望． …（12分）
（3）设C表示事件“小华和小红抛得正面个数相同”，
则所求概率为P（C）=P（ξ=0）2+P（ξ=1）2+P（ξ=2）2+P（ξ=3）2
=．
所以“小华和小红抛得正面个数相同”的概率为． …（16分）
解析
解：（1）设A表示事件“小华抛得一个正面两个反面”，
B表示事件“小红抛得两个正面一个反面”，
则P（A）=
P（B）=
则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为
P（AB）=P（A）P（B）=
（2）由题意ξ的取值为0，1，2，3，且
所求随机变量ξ的分布列为
…（10分）
数学期望． …（12分）
（3）设C表示事件“小华和小红抛得正面个数相同”，
则所求概率为P（C）=P（ξ=0）2+P（ξ=1）2+P（ξ=2）2+P（ξ=3）2
=．
所以“小华和小红抛得正面个数相同”的概率为． …（16分）
某厂工人在2012年里有1个季度完成生产任务，则得奖金300元；如果有2个季度完成生产任务，则可得奖金750元；如果有3个季度完成生产任务，则可得奖金1260元；如果有4个季度完成生产任务，可得奖金1800元；如果工人四个季度都未完成任务，则没有奖金，假设某工人每季度完成任务与否是等可能的，求他在2012年一年里所得奖金的分布列．
正确答案
解：设该工人在2012年一年里所得奖金为X，则X是一个离散型随机变量，并且X可能取的值为0，300，750，1260，1800．
由于该工人每季度完成任务与否是等可能的，所以他每季度完成任务的概率等于 
所以P（X=0）=
P（X=750）=
P（X=1800）=
所以X的分布列为
解析
解：设该工人在2012年一年里所得奖金为X，则X是一个离散型随机变量，并且X可能取的值为0，300，750，1260，1800．
由于该工人每季度完成任务与否是等可能的，所以他每季度完成任务的概率等于
所以P（X=0）=
P（X=750）=
P（X=1800）=
所以X的分布列为
设ξ是离散型随机变量，其概率分布列如右表，则ξ的数学期望Eξ=______
正确答案
解析
解：∵
∴
∴Eξ=-1×
故答案为：-
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