- 计数原理
- 共11505题
设随机变量X的概率分布列如下表所示：
F（x）=P（X≤x），则当x的取值范围是[1，2）时，F（x）=______．
正确答案
解析
解：∵F（x）=P（X≤x），x的取值范围是[1，2），
∴F（x）=P（X=0）+P（X=1）=1-P（X=2）=
故答案为：
某旅游公司为3个旅游团提供A，B，C，D四条线路，每个旅游团任选其中一条，每条线路被选的可能性相同．
（1）求3个旅游团选择3条不同线路的概率；
（2）求恰有2条线路没有被选择的概率；
（3）求选择A线路旅游团数X的分布列及均值EX．
正确答案
解：（1）由分步计数原理，3个旅游团线路选择方式共有n（Ω）=43=64种，
记“3个旅游团选择3条不同线路”为事件A，则
于是
（2）记“恰有2条线路没有被选择”为事件B，则
于是
（3）由题设知，X=0，1，2，3
其中
所以X的分布列为：
…（12分）
由此求得选择A线路旅游团数X的均值 ．
解析
解：（1）由分步计数原理，3个旅游团线路选择方式共有n（Ω）=43=64种，
记“3个旅游团选择3条不同线路”为事件A，则
于是
（2）记“恰有2条线路没有被选择”为事件B，则
于是
（3）由题设知，X=0，1，2，3
其中
所以X的分布列为：
…（12分）
由此求得选择A线路旅游团数X的均值 ．
为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”．比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：
（Ⅰ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X的分布列及其数学期望EX；
（Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．
正确答案
解：（I）根据统计数据可知，从本地区参加“数独比赛”的30名小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为
即从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为
（II）由题意知随机变量X可取0，1，2，3，
∴P（X=0）=C
P（X=2）=C
P（X=3）=C
所以X的分布列为（必须写出分布列，否则扣1分）
…（11分）
故Eξ=0×+1×+2×+3×=1，所求期望值为1．
（III）设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．
设从这30名学生中，随机选取2人，记两个人的成绩分别为m，n．
则基本事件的总数为，
不妨设m＞n，
当m=90时，n=60或40或30，基本事件的数为C（C+C+C）；
当m=70时，n=40或30，基本事件的数为C（C+C）；
当m=60时，n=30，基本事件的数为CC；
∴P（M）==．
∴从这30名学生中，随机选取2人，“这两个人的成绩之差大于20分”的概率为．
解析
解：（I）根据统计数据可知，从本地区参加“数独比赛”的30名小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为
即从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为
（II）由题意知随机变量X可取0，1，2，3，
∴P（X=0）=C
P（X=2）=C
P（X=3）=C
所以X的分布列为（必须写出分布列，否则扣1分）
…（11分）
故Eξ=0×+1×+2×+3×=1，所求期望值为1．
（III）设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．
设从这30名学生中，随机选取2人，记两个人的成绩分别为m，n．
则基本事件的总数为，
不妨设m＞n，
当m=90时，n=60或40或30，基本事件的数为C（C+C+C）；
当m=70时，n=40或30，基本事件的数为C（C+C）；
当m=60时，n=30，基本事件的数为CC；
∴P（M）==．
∴从这30名学生中，随机选取2人，“这两个人的成绩之差大于20分”的概率为．
已知点（x，y）可在x2+y2＜4表示的区域中随机取值，记点（x，y）满足|x|＞1为事件A，则P（A）等于（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意知本题是一个几何概型，
试验发生包含的所有事件是在x2+y2＜4表示的区域中随机取值，
对应的面积是4π，
满足条件的事件是点（x，y）满足|x|＞1，
对应的面积是两个弓形的面积为
根据几何概型概率公式得到P=
故选A．
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用，设稿件能通过各初审专家评审的概率为0.5．复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．
（1）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（2）记投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数为x，求x的分布及期望．
正确答案
解：（1）设“投到该杂志的1篇稿件被录用”为事件A，A包括以下两种情况：一种是能通过两位初审专家的评审，其概率是0.52；另一种是恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家复审且能通过复审专家的评审，其概率是
故P（A）=0.52+
（2）由题意可知：X～B（4，0.4），P（X=k）=
E（X）=4×0.4=1.6．
解析
解：（1）设“投到该杂志的1篇稿件被录用”为事件A，A包括以下两种情况：一种是能通过两位初审专家的评审，其概率是0.52；另一种是恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家复审且能通过复审专家的评审，其概率是
故P（A）=0.52+
（2）由题意可知：X～B（4，0.4），P（X=k）=
E（X）=4×0.4=1.6．
某学生玩投飞镖游戏，他一次投镖所得环数m的概率分布如下：
若这名学生投两次飞镖，记两次投中的最高环数为ξ．
（1）求该名学生两次都投中8环的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）设该名学生两次都投中8环的概率为P，
该名学生两次飞镖是相互独立的，根据相互独立事件的概率公式得到
则P=0.52=0.25．
即该名学生两次都投中8环的概率为0.25．
（Ⅱ）ξ的可能取值为8，9，10
在相同的条件下的实验，每次事件发生的概率相同，符合独立重复试验的特点，
根据独立重复试验公式得到分布列
∴P（ξ=8）=0.5×0.5=0.25；
P（ξ=9）=C21×0.5×0.3=0.3×0.3=0.39
P（ξ=10）=C21×0.2×0.5+C22×0.3×0.2+0.22=0.36．
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=8×0.25+9×0.39+10×0.36=9.11．
解析
解：（Ⅰ）设该名学生两次都投中8环的概率为P，
该名学生两次飞镖是相互独立的，根据相互独立事件的概率公式得到
则P=0.52=0.25．
即该名学生两次都投中8环的概率为0.25．
（Ⅱ）ξ的可能取值为8，9，10
在相同的条件下的实验，每次事件发生的概率相同，符合独立重复试验的特点，
根据独立重复试验公式得到分布列
∴P（ξ=8）=0.5×0.5=0.25；
P（ξ=9）=C21×0.5×0.3=0.3×0.3=0.39
P（ξ=10）=C21×0.2×0.5+C22×0.3×0.2+0.22=0.36．
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=8×0.25+9×0.39+10×0.36=9.11．
一袋子中装着标有数字1，2，3的小球各2个，共6个球，现从袋子中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球的数字之和，求：
（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）求随机变量ξ的概率分布．
正确答案
解：（1）记“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件”为A，
则
（2）由题意ξ可能的取值为：4，5，6，7，8，
所以P（ξ=4）=
P（ξ=8）=
所以随机变量ξ的概率分布为：
所以．
解析
解：（1）记“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件”为A，
则
（2）由题意ξ可能的取值为：4，5，6，7，8，
所以P（ξ=4）=
P（ξ=8）=
所以随机变量ξ的概率分布为：
所以．
某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
（1）在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次（每次一件），求恰有两次抽到二等品的概率；
（2）在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）设A表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次（每次一件），恰有两次取到二等品”，
依题意知，每次抽到二等品的概率为
故
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
ξ的分布列为
数学期望为Eξ=1×+2×+3×=1.2．
解析
解：（1）设A表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次（每次一件），恰有两次取到二等品”，
依题意知，每次抽到二等品的概率为
故
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
ξ的分布列为
数学期望为Eξ=1×+2×+3×=1.2．
盒内含有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出一个白球得0分，取出一个黑球得-1分，现从盒内一次性取3个球．
（1）求取出的三个球得分之和恰为1分的概率
（2）设 ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件A，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件B，
则P（A+B）=P（A）+P（B）=
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=
ξ的分布列为：
ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=1．
解析
解：（1）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件A，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件B，
则P（A+B）=P（A）+P（B）=
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=
ξ的分布列为：
ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=1．
正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为
（1）求概率p（η=0）；
（2）求η的分布列，并求其数学期望Eη．
正确答案
解：（1）若两条棱相交，则交点必为正四棱柱8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，共有8C
所以P（η=0）=
（2）若两条棱平行时，则它们的距离有4种，分别是：距离是
P（η=
P（η=3）=
随机变量η的分布列是：
（10分）
所以数学期望E（ξ）=0×+1×+×+×+2×+3×=．（12分）
解析
解：（1）若两条棱相交，则交点必为正四棱柱8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，共有8C
所以P（η=0）=
（2）若两条棱平行时，则它们的距离有4种，分别是：距离是
P（η=
P（η=3）=
随机变量η的分布列是：
（10分）
所以数学期望E（ξ）=0×+1×+×+×+2×+3×=．（12分）
某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核．规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试．学生甲三轮考试通过的概率分别为
（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；
（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金．记学生甲得到教育基金的金额为X，求X的分布列和均值．
正确答案
解：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，
则
所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为
（2）X的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元． …4分
所以，X的分布列为
均值为…9分．
解析
解：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，
则
所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为
（2）X的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元． …4分
所以，X的分布列为
均值为…9分．
某旅游公司提供甲、乙、丙三处旅游景点，游客选择游玩哪个景点互不影响，已知某游客选择游甲地而不选择游乙地和丙地的概率为0.08，选择游甲地和乙地而不选择游丙地的概率为0.12，在甲、乙、丙三处旅游景点中至少选择一个景点的概率为0.88，用ξ表示该游客在甲、乙、丙三处景点中选择游玩的景点数和没有选择游玩的景点数的乘积．
（1）记“函数f（x）=x2+ξx是R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设该游客选择游玩甲、乙、丙景点的概率依次为P1，P2，P3，由题意知
依题意，ξ的所有可能取值为0，2，
ξ=0的意义是：该游客游玩的旅游景点数为3，没游玩的旅游景点数为0；或游玩的旅游景点数为0，
没游玩的旅游景点数为3，
故P（ξ=0）=（1-0.4）（1-0.6）（1-0.5）+0.4×0.6×0.5=0.24．…（6分）
而函数f（x）=x2+ξx是R上的偶函数时ξ=0，所以P（A）=P（ξ=0）=0.24．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知P（ξ=2）=1-P（ξ=0）=0.76，…（10分）
ξ的概率分布列为：
其数学期望是：E（ξ）=0×0.24+2×0.76=1.52．…（12分）
解析
解：（Ⅰ）设该游客选择游玩甲、乙、丙景点的概率依次为P1，P2，P3，由题意知
依题意，ξ的所有可能取值为0，2，
ξ=0的意义是：该游客游玩的旅游景点数为3，没游玩的旅游景点数为0；或游玩的旅游景点数为0，
没游玩的旅游景点数为3，
故P（ξ=0）=（1-0.4）（1-0.6）（1-0.5）+0.4×0.6×0.5=0.24．…（6分）
而函数f（x）=x2+ξx是R上的偶函数时ξ=0，所以P（A）=P（ξ=0）=0.24．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知P（ξ=2）=1-P（ξ=0）=0.76，…（10分）
ξ的概率分布列为：
其数学期望是：E（ξ）=0×0.24+2×0.76=1.52．…（12分）
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．
（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；
（Ⅱ）若该批产品共100件，从中无放回抽取2件产品，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数．求ξ的分布列．
正确答案
解：（Ⅰ）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则A0，A1互斥，且A=A0+A1，故P（A）=P（A0+A1）=
于是0.96=1-p2．解得p1=0.2，p2=-0.2（舍去）．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2．
若该批产品共100件，由（1）知其二等品有100×0.2=20件，故
所以ξ的分布列为
解析
解：（Ⅰ）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则A0，A1互斥，且A=A0+A1，故P（A）=P（A0+A1）=
于是0.96=1-p2．解得p1=0.2，p2=-0.2（舍去）．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2．
若该批产品共100件，由（1）知其二等品有100×0.2=20件，故
所以ξ的分布列为
假设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=-1}=
（1）X的分布函数F（x）；
（2）X取负值的概率p．
正确答案
解：（1）由题设知，x＜-1时，F（x）=0，F（-1）=
∴P{-1＜X≤1}=1-
P{-1＜X≤x|-1＜X＜1}=
∴P{-1＜X≤x}=
∴F（x）=P（X≤-1）+P{-1＜X≤x}=
∵x≥1，F（x）=1，
∴F（x）=
（2）P=P（X≤0）=F（0）=
解析
解：（1）由题设知，x＜-1时，F（x）=0，F（-1）=
∴P{-1＜X≤1}=1-
P{-1＜X≤x|-1＜X＜1}=
∴P{-1＜X≤x}=
∴F（x）=P（X≤-1）+P{-1＜X≤x}=
∵x≥1，F（x）=1，
∴F（x）=
（2）P=P（X≤0）=F（0）=
从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同．
（Ⅰ）若抽取后又放回，抽取3次，求恰好抽到2次为红球的概率；
（Ⅱ）若抽取后不放回，设抽完红球所需的次数为s4，求s4的分布列及期望．
正确答案
解：（Ⅰ）抽取一次取到红球的概率为
∴抽取3次恰好有两次取到红球的概率为：
P=
（Ⅱ）由题设知s4的可能取值为2，3，4，5，
P（s4=2）=
P（s4=3）=
P（s4=4）=
P（s4=5）=
∴s4的分布列为：
∴E（s4）=2×+3×+4×+5×=4．
解析
解：（Ⅰ）抽取一次取到红球的概率为
∴抽取3次恰好有两次取到红球的概率为：
P=
（Ⅱ）由题设知s4的可能取值为2，3，4，5，
P（s4=2）=
P（s4=3）=
P（s4=4）=
P（s4=5）=
∴s4的分布列为：
∴E（s4）=2×+3×+4×+5×=4．
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