- 计数原理
- 共11505题
一个盒中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出是次品就不再放回，求在以取得正品前，已知得次品数概率x的分布列，并求P（
正确答案
解：显然x所有可能取的值为0，1，2，3．
∵P（x=0）=
P（x=1）=
P（x=2）=
P（x=3）=
∴x的分布列是：
∴P（≤x≤）=P（x=1）+P（x=2）=+=．
解析
解：显然x所有可能取的值为0，1，2，3．
∵P（x=0）=
P（x=1）=
P（x=2）=
P（x=3）=
∴x的分布列是：
∴P（≤x≤）=P（x=1）+P（x=2）=+=．
一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q，若第k次出现“○”，则记ak=1；出现“×”，则记ak=-1，令Sn=a1+a2+••+an．
（Ⅰ）当p=q=
（Ⅱ）当p=
正确答案
解：（I）∵ξ=|S3|的取值为1，3，又
∴P（ξ=1）=
∴ξ的分布列为
∴Eξ=1×
（II）当S8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知Si≥0（i=1，2，3，4），
若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；
若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．
故此时的概率为
解析
解：（I）∵ξ=|S3|的取值为1，3，又
∴P（ξ=1）=
∴ξ的分布列为
∴Eξ=1×
（II）当S8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知Si≥0（i=1，2，3，4），
若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；
若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．
故此时的概率为
已知离散型随机变量X的分布列如表．若EX=0，DX=1，则a=______，b=______．
正确答案
解析
解：由题知
-a+c+
∴
故答案为：
为弘扬“乐于助人，与人为善”中华传统美德，某社区组织了一个40人的社区志愿者服务团队，他们在一个月内参加社区公益活动的次数统计如表所示：
（1）从该服务团队中任意选3名志愿者，求这3名志愿者中至少有两名志愿者参加活动次数签好相等的概率；
（2）从该服务团队中任选两名志愿者，用X表示这两人参加活动次数只差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．
正确答案
解：（1）利用对立事件的概率公式，可得这3名志愿者中至少有两名志愿者参加活动次数签好相等的概率为
1-
（2）X的可能取值为0，1，2，则
P（X=0）=
X的分布列为
∴EX=0×+1×+2×=．
解析
解：（1）利用对立事件的概率公式，可得这3名志愿者中至少有两名志愿者参加活动次数签好相等的概率为
1-
（2）X的可能取值为0，1，2，则
P（X=0）=
X的分布列为
∴EX=0×+1×+2×=．
（1）求第一小组的频率；
（2）样本容量是多少？
（3）若次数在100以上（含100次）为达标，试估计该学校学生达标率是多少？
正确答案
解：（1）∵从左到右各小长方形面积之比为1：2：8：7：5：2，
∴第一小组的频率是
（2）∵第一小组频数为6
∴样本容量是
（3）该学校学生达标率是
解析
解：（1）∵从左到右各小长方形面积之比为1：2：8：7：5：2，
∴第一小组的频率是
（2）∵第一小组频数为6
∴样本容量是
（3）该学校学生达标率是
（1）求此次抽样的样本总数为多少人？
（2）在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？
（3）将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为15，达标成绩记为10分，不达标记为5分，现在从该校高一学生中随机抽取2人，他们分值和记为X，求X的分布列和期望．
正确答案
解：（1）设样本总数为n，
∵由频率分布直方图可知：次数在[100，110）间的频率为0.014×10=0.14，…1分（1分）
∴0.14n=7，解得n=50人．…1分（2分）
（2）记抽中不达标学生的事件为C，抽中达标学生的事件为B，抽中优秀学生的事件为A．
P（C）=0.006×10+0.014×10=0.2；…1分（3分）
P（B）=0.028×10+0.022×10=0.50；…1分（4分）
P（A）=1-P（B）-P（C）=0.30． …1分（5分）
（3）∵在高一年级中随机抽取2名学生的成绩和X=10，15，20，25，30…1分（6分）
∴P（X=10）=0.2×0.2=0.04； P（X=15）=2×0.2×0.5=0.2； P（X=20）=0.52+2×0.2×0.3=0.37；
P（X=25）=2×0.3×0.5=0.3； P（X=30）=0.32=0.09．[对一个给1分，但不超过4分]…4分（10分）
∵E（X）=0.04×10+0.2×15+0.37×20+0.3×25+0.09×30 …1分（11分）
∴E（X）=21． …1分（12分）
解析
解：（1）设样本总数为n，
∵由频率分布直方图可知：次数在[100，110）间的频率为0.014×10=0.14，…1分（1分）
∴0.14n=7，解得n=50人．…1分（2分）
（2）记抽中不达标学生的事件为C，抽中达标学生的事件为B，抽中优秀学生的事件为A．
P（C）=0.006×10+0.014×10=0.2；…1分（3分）
P（B）=0.028×10+0.022×10=0.50；…1分（4分）
P（A）=1-P（B）-P（C）=0.30． …1分（5分）
（3）∵在高一年级中随机抽取2名学生的成绩和X=10，15，20，25，30…1分（6分）
∴P（X=10）=0.2×0.2=0.04； P（X=15）=2×0.2×0.5=0.2； P（X=20）=0.52+2×0.2×0.3=0.37；
P（X=25）=2×0.3×0.5=0.3； P（X=30）=0.32=0.09．[对一个给1分，但不超过4分]…4分（10分）
∵E（X）=0.04×10+0.2×15+0.37×20+0.3×25+0.09×30 …1分（11分）
∴E（X）=21． …1分（12分）
形状如右图所示的三个游戏盘中（图a是正方形，图b是半径之比为1：2的两个同心圆，圆c是正六边形），各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．
（I）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？
（II）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（I）由题意知，图a中，小球停在阴影部分的概率是
图b中小球停在阴影部分的概率是
图c中小球停在阴影部分的概率是
且三个小球是否停在阴影部分相互之间没有关系，
∴根据相互独立事件同时发生的概率得到P=
（II）∵ξ表示小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，
一次游戏结束小球停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，
则小球没有停在阴影部分的事件数是3，2，1，0，
∴ξ的可能取值是1，3，
当ξ=3时，表示三个小球都在阴影部分或三个小球都不在阴影部分，
P（ξ=3）=
P（ξ=1）=1-
∴ξ的分布列是
∴数学期望Eξ=
解析
解：（I）由题意知，图a中，小球停在阴影部分的概率是
图b中小球停在阴影部分的概率是
图c中小球停在阴影部分的概率是
且三个小球是否停在阴影部分相互之间没有关系，
∴根据相互独立事件同时发生的概率得到P=
（II）∵ξ表示小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，
一次游戏结束小球停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，
则小球没有停在阴影部分的事件数是3，2，1，0，
∴ξ的可能取值是1，3，
当ξ=3时，表示三个小球都在阴影部分或三个小球都不在阴影部分，
P（ξ=3）=
P（ξ=1）=1-
∴ξ的分布列是
∴数学期望Eξ=
某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为
（Ⅰ）设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；
（Ⅱ）设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（元），用ξ表示η，并求η的数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4．
∴ξ分布列为：
（Ⅱ）∵
由题意可知η=2300-100ξ
∴Eη=2300-100Eξ=2300-200=2100元
解析
解：（Ⅰ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4．
∴ξ分布列为：
（Ⅱ）∵
由题意可知η=2300-100ξ
∴Eη=2300-100Eξ=2300-200=2100元
因台风灾害，我省某水果基地龙眼树严重受损，为此有关专家提出两种拯救龙眼树的方案，每种方案都需分四年实施．若实施方案1，预计第三年可以使龙眼产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第四年可以使龙眼产量为第三年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案2，预计第三年可以使龙眼产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第四年可以使龙眼产量为第三年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第三年与第四年相互独立，令ξi（i=1，2）表示方案i实施后第四年龙眼产量达到灾前产量的倍数．
（1）写出ξ1、ξ2的分布列；
（2）实施哪种方案，第四年龙眼产量超过灾前产量的概率更大？
（3）不管哪种方案，如果实施后第四年龙眼产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大？
正确答案
解：（1）ξ1的分布列为：
（3分）
ξ2的分布列为
（6分）
（2）由（1）可得ξ1＞1的概率P（ξ1＞1）=0.15+0.15=0.3，（7分）
ξ2＞1的概率P（ξ2＞1）=0.24+0.08=0.32，（8分）
∵P（ξ2＞1）＞P（ξ1＞1），
∴实施方案2，第四年产量超过灾前概率更大．（9分）
（3）设实施方案1、2的平均利润分别为利润A、利润B，根据题意，
利润A=（0.2+0.15）×10+0.35×15+（0.15+0.15）×20=14.75（万元） （10分）
利润B=（0.3+0.2）×10+0.18×15+（0.24+0.08）×20=14.1（万元） （11分）
∵利润A＞利润B，
∴实施方案1平均利润更大．（13分）
解析
解：（1）ξ1的分布列为：
（3分）
ξ2的分布列为
（6分）
（2）由（1）可得ξ1＞1的概率P（ξ1＞1）=0.15+0.15=0.3，（7分）
ξ2＞1的概率P（ξ2＞1）=0.24+0.08=0.32，（8分）
∵P（ξ2＞1）＞P（ξ1＞1），
∴实施方案2，第四年产量超过灾前概率更大．（9分）
（3）设实施方案1、2的平均利润分别为利润A、利润B，根据题意，
利润A=（0.2+0.15）×10+0.35×15+（0.15+0.15）×20=14.75（万元） （10分）
利润B=（0.3+0.2）×10+0.18×15+（0.24+0.08）×20=14.1（万元） （11分）
∵利润A＞利润B，
∴实施方案1平均利润更大．（13分）
某射击游戏规定：每位选手最多射击3次；射击过程中若击中目标，方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第i（i=1，2，3）次射击时击中目标得4-i分，否则该次射击得0分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为0.8，且其各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求甲恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）设该选手甲停止射击时的得分总和为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设选手甲第i次击中目标的事件为Ai（i=1，2，3），
则
依题可知：Ai与Aj（i，j=1，2，3，i≠j）相互独立
所求为：
（Ⅱ）ξ可能取的值为0，3，5，6． …（6分）
ξ的分布列为：
…（10分）（表中的每一个概率值各占1分）
∴Eξ=0×0.2+3×0.16+5×0.128+6×0.512=4.192．…（12分）
解析
解：（Ⅰ）设选手甲第i次击中目标的事件为Ai（i=1，2，3），
则
依题可知：Ai与Aj（i，j=1，2，3，i≠j）相互独立
所求为：
（Ⅱ）ξ可能取的值为0，3，5，6． …（6分）
ξ的分布列为：
…（10分）（表中的每一个概率值各占1分）
∴Eξ=0×0.2+3×0.16+5×0.128+6×0.512=4.192．…（12分）
某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：
方案1：运走设备，此时需花费4000元；
方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；
方案3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．
（1）试求方案3中损失费ξ（随机变量）的分布列；
（2）试比较哪一种方案好．
正确答案
解：（1）在方案3中，记“甲河流发生洪水”为事件A，“乙河流发生洪水”为事件B，
则P（A）=0.25，P（B）=0.18，
所以，有且只有一条河流发生洪水的概率为P（A•
两河流同时发生洪水的概率为P（A•B）=0.045，
都不发生洪水的概率为P（
设损失费为随机变量ξ，则ξ的分布列为：
（2）对方案1来说，花费4000元；
对方案2来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，
但当两河流都发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为P=0.25×0.18=0.045．
所以，该方案中可能的花费为：1000+56000×0.045=3520（元）．
对于方案来说，损失费的数学期望为：Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100（元），
比较可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差．
解析
解：（1）在方案3中，记“甲河流发生洪水”为事件A，“乙河流发生洪水”为事件B，
则P（A）=0.25，P（B）=0.18，
所以，有且只有一条河流发生洪水的概率为P（A•
两河流同时发生洪水的概率为P（A•B）=0.045，
都不发生洪水的概率为P（
设损失费为随机变量ξ，则ξ的分布列为：
（2）对方案1来说，花费4000元；
对方案2来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，
但当两河流都发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为P=0.25×0.18=0.045．
所以，该方案中可能的花费为：1000+56000×0.045=3520（元）．
对于方案来说，损失费的数学期望为：Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100（元），
比较可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差．
某实验室新购进10件精密仪器，因运输途中一次意外紧急刹车，导致其中3件仪器有不同程度的破损（变成废品），余下7件完好无损．现从包装箱中一件一件地抽取仪器，假设每件仪器抽到的可能性都相同．
（1）若每次抽出后都不放回，当拿到完好无损仪器时停止抽取，请写出抽取次数ξ的概率分布律（只列表，不要求计算过程）．
（2）求Eξ．
正确答案
解：（1）由题可知，随机变量ξ的概率分布列为：
（6分）
（2）由（1）可知，=． （12分）
解析
解：（1）由题可知，随机变量ξ的概率分布列为：
（6分）
（2）由（1）可知，=． （12分）
一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现在共有4颗子弹，则尚余子弹数目ξ的期望为______．
正确答案
2.376
解析
解：由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3，
P（ξ=0）=0.4×0.4×0.4=0.064
P（ξ=1）=0.4×0.4×0.6=0.096
P（ξ=2）=0.4×0.6=0.24
P（ξ=3）=0.6，
∴Eξ=1×0.096+2×0.24+3×0.6=2.376
故答案为：2.376
设X是一个离散型随机变量，其分布列如下：
则q的值为______．
正确答案
解析
解：由离散型随机变量分布列的性质，可得
∴q=
故答案为：
有A，B，C，D四个城市，它们都有一个著名的旅游点依此记为a，b，c，d把A，B，C，D和a，b，c，d分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右全部连接起来，构成“一一对应”，已知连对的得2分，连错的得0分；
（1）求该爱好者得分的分布列；
（2）求所得分的数学期望？
正确答案
解．设答对题的个数为y，得分为ξ
y=0，1，2，4∴ξ=0，2，4，8
则ξ的分布列为
（2）Eξ=
答：该人得分的期望为（2分）
解析
解．设答对题的个数为y，得分为ξ
y=0，1，2，4∴ξ=0，2，4，8
则ξ的分布列为
（2）Eξ=
答：该人得分的期望为（2分）
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