- 等差中项
- 共113题
在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，使x，a，y 成等差数列，若插入两个数b，c，使x，b，c，y成等比数列。
求证：（a+1）2≥（b+1）（c+1）。
正确答案
证明：由条件，得
消去x，y，即得
要证（a+1）2≥（b+1）（c+1），
只需证
即证
也就是证 2a≥b+c，
而
即证b3+c3= （b+c）（b2+c2-bc）≥（b+c）bc，
即证b2+c2-bc≥bc，
即证（b -c）2≥0，
因为上式显然成立，
所以（a+1）2≥（b+1）（c+1）。
如图，已知圆C1与y轴相切于原点O，且过双曲线x2-3y2=3的右焦点F2；过抛物线C2：y2=4x的焦点P作直线l与曲线C1，C2按自上而下的顺序交于A， B，C，D。
（1）求圆C1的方程；
（2）问是否存在直线l使
正确答案
解：（1）由
∴
∴c=2
∴双曲线的右焦点为F2（2，0）
∵圆C1与y轴相切于原点O，
∴可设C1：（x-m）2+y2=m2（m>0），
∵圆C1过点F2（2，0），
∴（2-m）2=m2且m>0，
∴m=1
∴圆C1：（x-1）2+y2=1；
（2）抛物线y2=4x的焦点为P（1，0），
∵P（1，0）为圆C1的圆心，
∴BC为圆C1的直径，
∴|BC|=2
若存在直线l使
则|AB|+|CD|=2|BC|=4
∴|AD|=|AB|+ |BC|+|CD|=6
当直线l的斜率不存在时x=1，代入y2=4x得A（1，2），D（1，-2），
∴|AD|=4，不合题意
当直线l的斜率存在时，
∵l过点P（1，0），
∴可设l：y=k（x-1），由y2=4x得：
代入l的方程得：
即ky2-4y-4k=0
设A（x1，y1），D（x2，y2），当k≠0时，
∴
又∵|AD|=6
∴
解得
l：
故存在符合条件的直线l，其方程为
设数列{an}的首项a1=4，前n项和为Sn，且满足
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bn=（1-（-1）n）an+（2n -1）p（n∈N*，p为常数），且b2，b3，b5成等差数列，求b1+b2+ b3+…+b2n。
正确答案
解：（1）由条件，得a1=4，a2=2
作差，得
又
即
（2）b1=8+p，b2=3p，b3=2+5p，b4=7p
已知四个正实数前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个与第三个的和为8，第二个与第四个的积为36.
（Ⅰ）求此四数；
（Ⅱ）若前三数为等差数列{an}的前三项，后三数为等比数列{bn}的前三项，令
正确答案
解：(1)设此四数为
由题意知a=4,d=2
所求四数为2,4,6,9
(2) 
已知四个正实数前三个成等差数列，后三个成等比数列，第一个与第三个的和为8 ，第二个与第四个的积为36 ．
( 1) 求此四数；
（2）若前三数为等差数列
正确答案
解：(1)设此四数为
由题意知
所求四数为2,4,6,9
(2)
利用错位相减求和得
扫码查看完整答案与解析