等差中项
共113题

· 等差中项

等差中项
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题型：填空题

填空题

椭圆=1（m>7）上一点P到右焦点的距离是长轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点的坐标为（）

正确答案

（0，）、（0，-）

题型：简答题

简答题

椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

（1）求证：；

（2）若直线l的斜率为1，且点（0，﹣1）在椭圆C上，求椭圆C的方程．

正确答案

（1）证明：由题设，∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，

∴2|AB|=|AF2|+|BF2|，

由椭圆定义|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，

所以，．

（2）解：由点（0，﹣1）在椭圆C上，可设椭圆C的方程为，

设A（x1，y1），B（x2，y2），F1（﹣c，0），l：x=y﹣c，

代入椭圆C的方程，整理得（a2+1）y 2﹣2cy﹣1=0，（*）

则

=，

于是有，

，

故椭圆C的方程为．

题型：简答题

简答题

已知一列椭圆Cn：， 0＜bn＜1，n=1，2，…，若椭圆Cn上有一点Pn，使Pn到右准线ln的距离dn是|PnFn|与|PnGn|的等差中项，其中Fn、Gn分别是Cn的左、右焦点，

（Ⅰ）试证：（n≥1）；

（Ⅱ）取，并用Sn表示△PnFnGn的面积，试证：S1＜S2且Sn＞Sn+1（n≥3）。

正确答案

证明：（Ⅰ）由题设及椭圆的几何性质有，

设，则右准线方程为，

因此，由题意dn应满足，

即，

从而对任意。

（Ⅱ）设点Pn的坐标为及椭圆方程易知，

，

因的面积为，

从而，

令，

由，得两根，

从而易知函数f（c）在内是增函数，而在内是减函数，

现在由题设取，

则是增数列，

又易知，

故由前已证，知S1＜S2，且。

题型：简答题

简答题

设抛物线y2=2px（p＞0）。

（1）求此抛物线的方程；

（2）设直线AB上有一点Q，使得A，Q，B三点到抛物线准线的距离成等差数列，求Q点坐标；

（3）在抛物线上求一点M，使M到Q点距离与M到焦点的距离之和最小。

正确答案

解：（1）；

（2）；

（3）。

题型：简答题

简答题

在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：。

正确答案

解：（Ⅰ）由条件得，

由此可得，

猜测，

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立；

②假设当n=k时，结论成立，即，

那么当n=k+1时，

，

所以当n=k+1时，结论也成立；

由①②，可知对一切正整数都成立。

（Ⅱ），

n≥2时，由（Ⅰ）知，

故

，

综上，原不等式成立．

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