导数及其应用_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

13. 曲线在处的切线方程为______.

正确答案

x – y + 1= 0

解析

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知识点

导数的几何意义直线的一般式方程

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20.已知函数，其中

（1）若，求曲线在点的切线方程；

（2）若在区间上，恒成立，求的取值范围。

正确答案

解析

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知识点

导数的几何意义利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

22．已知函数，在点处的切线方程为．

（I）求函数的解析式；

（II）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；

（III）若过点，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

正确答案

（I），根据题意，得

即解得

（II）令，解得，

时，

则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值，都有

所以所以的最小值为4．

（Ⅲ）设切点为，

切线的斜率为则即，

因为过点，可作曲线的三条切线，

所以方程有三个不同的实数解，

即函数有三个不同的零点，

则令

即，∴

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知识点

函数解析式的求解及常用方法导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

22．函数处取得极值，且的图象在处

的切线平行于直线

（I）求函数解要式和极值；

（II）对任意，求证。

正确答案

解：（I）由

则

（II）

由（I）知上的最大，最小值分别为

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知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数证明不等式

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

17．已知，函数，，。

（I）当时，求函数在点（1，）的切线方程；

（II）求函数在的极值；

（III）若在区间上至少存在一个实数，使成立，求正实数的取值范围。

正确答案

由求导得，，

（I）当时，，

所以在点（1，）的切线方程是

（II）令得：

（1）当即时

故的极大值是；极小值是；

（2）当1即时

在（-1，0）上递增，在（0，1）上递减，

所以的极大值为，无极小值。

（III）设

对求导，得，

因为，，所以，

在区间上为增函数，则。

依题意，只需，即，

即，解得（舍去）。

所以正实数的取值范围是。

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知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求参数的取值范围

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．已知函数

（Ⅰ）求在处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若，求证：．

正确答案

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知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数证明不等式

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

14．曲线上切线平行于轴的切点坐标为_________________

正确答案

或

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知识点

导数的几何意义直线的一般式方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．若抛物线与直线相切，则此切线方程为__________.

正确答案

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知识点

导数的几何意义导数的运算直线的一般式方程

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

14．曲线在处的切线方程为（）

正确答案

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知识点

导数的几何意义直线的一般式方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

22．已知函数的图象在点处的切线方程为。

（1）用a表示出b，c；

（2）若上恒成立，求实数a的取值范围。

正确答案

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知识点

导数的几何意义利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

22．已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同。

（I）用表示，并求的最大值；

（II）求证：（）。

正确答案

（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同。

，，由题意，．

即由得：，或（舍去）。

即有．

令，则．于是

当，即时，；

当，即时，．

故在为增函数，在为减函数，

于是在的最大值为．

（Ⅱ）设，

则．

故在为减函数，在为增函数，

于是函数在上的最小值是．

故当时，有，即当时，．

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导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数证明不等式

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

13．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）

正确答案

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导数的几何意义两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系直线的一般式方程

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17．设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为－12。

（1）求的值；

（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。

正确答案

（1）∵为奇函数，

∴即

∴

∵的最小值为∴

又直线的斜率为因此，

∴，，．

（2）．

，列表如下：

所以函数的单调增区间是和

∵，，

∴在上的最大值是，最小值是．

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导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

22．已知函数，其中．

（1）求函数的单调区间；

（2）若直线是曲线的切线，求实数的值；

（3）设，求在区间上的最小值。（其中为自然对数的底数）

正确答案

解：（1），（），

在区间和上，；在区间上，．

所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是．

（2）设切点坐标为，

则

解得，．

（3），

则，

解，得，

所以，在区间上，为递减函数，

在区间上，为递增函数．

当，即时，在区间上，为递增函数，

所以最小值为．

当，即时，在区间上，为递减函数，

所以最小值为．

当，即时，最小值

=．

综上所述，当时，最小值为；

当时，的最小值=；

当时，最小值为．

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导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18.垂直于直线并且与曲线相切。

（1）求的斜率，求；

（2）求切点坐标，求直线的方程。

正确答案

（1）k=-3

（2）设切点为

切线的斜率，得

代入到得，即

解析

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知识点

导数的几何意义导数的运算两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系

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