直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
共263题

· 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型：简答题

简答题 · 15 分

如图，设椭圆C:动直线与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.

(1) 已知直线的斜率为，用表示点P的坐标；

(2) 若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.

正确答案

见解析

解析

（1）方法1：设直线l的方程为，由，消去y得

由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即，解得点P的坐标为

又点P在第一象限，故点P的坐标为

方法2：作变换，则椭圆C：变为圆：

切点变为点，切线（变为。

在圆中设直线的方程为（），

由解得

即，由于，

所以，得，

即代入得即，

利用逆变换代入即得：

（2）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离

整理得:

因为，所以

当且仅当时等号成立。

所以，点P到直线的距离的最大值为

知识点

直线与椭圆的位置关系直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 15 分

如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点

（1）求椭圆的方程；

（2）求面积取最大值时直线的方程.

正确答案

（1）（2）

解析

（1）由已知得到，且，所以椭圆的方程是；

（2）因为直线，且都过点，所以设直线，直线，所以圆心到直线的距离为，所以直线被圆所截的弦；

由，所以

，所以

，

当时等号成立，此时直线

知识点

椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是

正确答案

解析

如图：|OB|＝b，|O F1|＝c，∴kPQ＝，kMN＝﹣。

直线PQ为：y＝(x＋c)，两条渐近线为：y＝x，由，得：Q(，)；由，得：P(，)，∴直线MN为：y－＝﹣(x－)，

令y＝0得：xM＝，又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝，解之得：，即e＝。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二、四象限的公共点。若四边形为矩形，则的离心率是

正确答案

解析

由已知得，设双曲线实半轴为，由椭圆及双曲线的定义和已知得到：，所以双曲线的离心率为，所以选D

知识点

椭圆的几何性质双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 15 分

如图，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分。

（1）求椭圆C的方程；

（2）求ABP的面积取最大时直线l的方程。

正确答案

（1）；（2） y＝﹣。

解析

（1）由题：；（1）

左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为：。（2）

由（1）（2）可解得：。

∴所求椭圆C的方程为：。

（2）易得直线OP的方程：y＝x，设A（xA，yA），B（xB，yB），R（x0，y0），其中y0＝x0。

∵A，B在椭圆上，

∴。

设直线AB的方程为l：y＝﹣（m≠0），

代入椭圆：。

显然。

∴﹣＜m＜且m≠0。

由上又有：＝m，＝。

∴|AB|＝||＝＝。

∵点P（2，1）到直线l的距离为：。

∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|，

当|m＋2|＝，即m＝﹣3 or m＝0（舍去）时，（SABP）max＝。

此时直线l的方程y＝﹣。

知识点

椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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