热门试卷

（1）设椭圆的方程为，半焦距为.

依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得。

解得，。

所以。

所以椭圆的标准方程是。         ……………4分

（2）解：存在直线，使得成立.理由如下：

由得。

，化简得。

设，则

，。

若成立，

即，等价于，所以。

，

，

,

化简得，。

将代入中，，

解得，。

又由，，

从而，或。

所以实数的取值范围是。      ……………14分

（1）（法一）点在抛物线上， 。

设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，

由 得，

，

由，得，则直线方程为。

两直线、间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，

有，解得或（舍去）。

直线的方程为，抛物线的方程为。

（法二）点在抛物线上， ，抛物线的方程为。……2分

设为抛物线上的任意一点，点到直线的距离为，根据图象，有，，

，的最小值为，由，解得。

因此，直线的方程为，抛物线的方程为。

（2）直线的斜率存在，设直线的方程为，即，

由  得，

设点、的坐标分别为、，则，，

，，

.

由 得，，

，

。

因此，存在实数，使得成立，且。

(1)设动点，则(且)

所以曲线的方程为().

（2）法一：设，则直线的方程为，令，则得，直线的方程为，

令，则得，

∵ =

∴，∴

故

∵  ，∴，

∴，

∴，

∴直线与直线的斜率之积的取值范围为

法二：设直线的斜率为，则由题可得直线的斜率为，

所以直线的方程为，令，则得，

直线的方程为，令，则得，

∴，

∴

故

∴直线与直线的斜率之积的取值范围为

（3）法一：由（2）得，，

则直线的方程为，直线的方程为，…12分

由，解得即

∴

∴  点在曲线上.

法二：由（2）得，

∴   ，

∴

∴  点在曲线上。

法三：由（2）得，，，

∴   ，

∴ 　∴  点在曲线上.

（1）由,,

根据椭圆定义知的轨迹为以为焦点的椭圆,

其长轴,焦距,短半轴,故的方程为.

（2）过点与X轴垂直的直线不与圆相切，故可设:,由直线与曲线

相切得,化简得

由,解得

联立,消去整理得,

直线被曲线截得的线段一端点为,设另一端点为,解方程可得,有

令,则,

考查函数的性质知在区间上是增函数,

所以时,取最大值,从而.

（1）由题知，有.

化简，得曲线的方程：，

（2）∵直线的斜率为，且不过点，

∴可设直线：。

联立方程组得。

又交点为，

∴，

∴

（3）答：一定存在满足题意的定圆.

理由：∵动圆与定圆相内切，

∴两圆的圆心之间距离与其中一个圆的半径之和或差必为定值.

又恰好是曲线（椭圆）的右焦点，且是曲线上的动点，

记曲线的左焦点为，联想椭圆轨迹定义，有，

∴若定圆的圆心与点重合，定圆的半径为4时，则定圆满足题意.

∴定圆的方程为：.

(1)

设点A(3,-1)关于直线的对称点为坐标为(x,y),

则解得-

把点（1，3）代入，解得a = 4，

所以抛物线的方程为

（2）∵是抛物线的焦点，抛物线的顶点为（0，-1），

∴抛物线的准线为，

过点M作准线的垂线，垂足为A,由抛物线的定义知,

∴=,当且仅当P、M、A三点共线时“=”成立，

即当点M为过点P所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，取最小值，

∴，这时点M的坐标为。

（3）BC所在的直线经过定点，该定点坐标为，

令，可得D点的坐标为

设，显然，

则-

--

∵，∴，即

直线BC的方程为

即-

所以直线BC经过定点.--

（1）解法1：设椭圆的方程为,

依题意:    解得:

∴ 椭圆的方程为.

解法2：设椭圆的方程为，

根据椭圆的定义得，即，

∵，  ∴.

∴ 椭圆的方程为.

(2)解法1：设点,，则，

，

∵三点共线,

∴.

∴,

化简得：.  ①

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ②

同理，抛物线在点处的切线的方程为 .     ③

设点，由②③得：，

而，则 .

代入②得 ，

则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为.

若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件 的点有两个.

解法2：设点,，，

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，

即.

∵， ∴ 。

∵点在切线上,   ∴.        ①

同理， .  ②

综合①、②得，点的坐标都满足方程.

∵经过的直线是唯一的，

∴直线的方程为，

∵点在直线上，      ∴.

∴点的轨迹方程为.

若 ，则点在椭圆上，又在直线上，

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件 的点有两个.

解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

由消去，得.

设,则.

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，即.…7分

∵， ∴.

同理,得抛物线在点处的切线的方程为.

由解得

∴.

∵,

∴点在椭圆上.

∴.

化简得.(*)

由,

可得方程(*)有两个不等的实数根.  ∴满足条件的点有两个.

（1）抛物线的焦点为，它是题设椭圆的左焦点.离心率为，

所以，.由求得.

因此，所求椭圆的方程为  （*）

（2）椭圆的右焦点为，过点与轴平行的直线显然与曲线没有交点.设直线的斜率为，

①  若，则直线过点且与曲线只有一个交点，此时直线

的方程为；

②  若，因直线过点，故可设其方程为，将其代入

消去，得.因为直线与曲线只有一个交点，所以判别式，于是，从而直线的方程为或.因此，所求的直线的方程为或或.

可求出点的坐标是或或.

①若点的坐标是，则.于是=，从而，代入（*）式联立：

或，求得，此时满足条件的点有4个:

.

②若点的坐标是，则，点M到直线：的距离是，

于是有，从而，

与（*）式联立：或解之，可求出满足条件的点有4个:，，，.

③  若点的坐标是，则，点到直线:的距离是，于是有，从而，

与（*）式联立：或，解之，可求出满足条件的点有4个:  ，,,.

综合①②③，以上12个点各不相同且均在该椭圆上，因此，满足条件的点共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求。