直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
共263题

· 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型：单选题

单选题 · 5 分

8.双曲线的一条渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为

正确答案

解析

双曲线的一条渐近线方程：．

双曲线的渐近线方程与圆相切，

可得：,可得：，两边平方，

即，即,可得：，，解得．

故选A.

考查方向

本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．

解题思路

先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．

易错点

直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径.

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

单选题

发达国家应该______自己的历史责任和当前人均排放高的现实，严格______《京都议定书》确定的减排目标，继续承担中期大幅量化减排义务。填入横线部分最恰当的一项是( )。

A．承担遵守
B．正视履行
C．重视遵守
D．直面履行

正确答案

解析

[解析] “承担”与“现实”不能搭配。“正视”，用严肃认真的态度对待，不躲避，不敷衍。“直面”，当面，面对。对于自己的历史责任和当前人均排放高的现实，发达国家应该用严肃认真的态度来对待，B项正确。

题型：简答题

简答题 · 12 分

在平面直角坐标系中，过椭圆的一个焦点作一直线交椭圆于两点，线段长的最大值与最小值分别是.

23.求椭圆的方程；

24.与圆相切的直线与椭圆交于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）由题意知，解得

所求椭圆的方程为． …………………………………………（5分）

解析

由题意，得,得,从而椭圆方程为

考查方向

本题考查椭圆焦点弦知识，由焦点弦的公式可以知道最大值与最小值

解题思路

由焦点弦公式，可得,从而求出a,b的值

易错点

焦点弦的最大值与最小值容易弄错

教师点评

本题只需要记住焦点弦的公式就可以解决，在近几年中考到的频率较高，是解析几何中重要的一块

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）设，，

由直线与圆相切，

所以，①　　　 …………………………（6分）

联立，

所以，

， ………………………………………………（9分）

又，，

将点C代入椭圆方程并化简得，②　 …………………………（10分）

①代入②得，解得． …………………………（12分）

解析

（Ⅱ）设，，

由直线与圆相切，

所以，①　　　 …………………………（6分）

联立，

所以，

， ………………………………………………（9分）

又，，

将点C代入椭圆方程并化简得，②　 …………………………（10分）

①代入②得，解得

考查方向

本题考查圆与直线相切问题，向量在圆锥曲线上的应用，变量取值范围问题

解题思路

先由圆与直线相切，求出k，然后联立直线与椭圆方程，消去一个元，算出两根和积，再结合向量的性质，联立关系式，求出变量取值范围

易错点

容易算错斜率，以及变量的取值范围

教师点评

本题是圆锥曲线中的常规题，难度是中等，需要掌握切线问题、设而不求法、向量等知识，才能求出变量的取值范围，在近几年中考到的频率较高，是解析几何中重要的一块

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知抛物线的顶点为，，焦点为，.

23.求抛物线的方程；

24.过点作直线交抛物线于，两点，若直线，分别交直线于、两点，求的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解：由题意，设抛物线的方程为（），

则，，

所以抛物线的方程为. …………4分

解析

解：由题意，设抛物线的方程为（），

则，，

所以抛物线的方程为. …………4分

考查方向

抛物线的标准方程

解题思路

熟练掌握抛物线的四种形式即可求解。

易错点

容易把抛物线的对称轴弄反了。

教师点评

熟记抛物线的标准方程是关键。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解：由题意，直线的斜率存在，设，，，，

直线的方程为， …………5分

由，消去，整理得，

，， …………8分

从而， …………9分

由，解得点的横坐标，

同理点的横坐标，

所以， …………11分

令，，则，

当时，，

当时，， …………13分

综上所述，当，即时，的最小值是. …………14分

解析

解：由题意，直线的斜率存在，设，，，，

直线的方程为， …………5分

由，消去，整理得，

，， …………8分

从而， …………9分

由，解得点的横坐标，

同理点的横坐标，

所以， …………11分

令，，则，

当时，，

当时，， …………13分

综上所述，当，即时，的最小值是. …………14分

考查方向

弦长公式及最值问题。

解题思路

联立直线和抛物线的方程，然后用韦达定理的两根的关系，再同弦长公式表示出来，最后配方得到最小值。

易错点

1、解方程出错；2、将弦长公式表示出来后，没有思路。

教师点评

本题考查了抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，弦长公式、最值问题。

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．

（1）求椭圆的离心率；

（2）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．

正确答案

（1）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，

则原点O到直线的距离，

由，得，解得离心率.

（2）解法一：由（1）知，椭圆E的方程为. (1)

依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且.

易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得

设则

由，得解得.

从而.

于是.

由，得，解得.

故椭圆E的方程为.

解法二：由（I）知，椭圆E的方程为. (2)

依题意，点A，B关于圆心M(-2,1)对称，且.

设则，，

两式相减并结合得.

易知，AB不与x轴垂直，则，所以AB的斜率

因此AB直线方程为，代入(2)得

所以，.

于是.

由，得，解得.

故椭圆E的方程为.

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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