直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
共263题

· 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆C的中点在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2.其中F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且.

（1）求C1的方程；

（2）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若·=0，求直线l的方程.

正确答案

（1）椭圆的方程为

（2）直线的方程为，或

解析

（1）由：知，……………………………………………1分

设，在上，因为，所以，

得，，………………………………………………………………… 3分

在上，且椭圆的半焦距，于是………………………5分

消去并整理得，解得（不合题意，舍去）。

故椭圆的方程为。 ………………………………………………… 7分

（2）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，

因为，所以与的斜率相同，

故的斜率。

设的方程为，……………………………………………………… 8分

由 ………………………………………………………………… 9分

消去并化简得，…………………………………… 10分

设，，，.……………………11分

因为，所以。

，……………… 12分

所以，此时，

故所求直线的方程为，或。 …………………… 14分

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，。

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，过右焦点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为。

求证: 为定值。

正确答案

见解析

解析

（1）由条件可知， …………2分

故所求椭圆方程为， …………4分

（2）设过点的直线方程为：， …………5分

由可得： …………6分

因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，即恒成立。

设点，则

， …………8分

因为直线的方程为：，

直线的方程为：， ………9分

令，可得，，

所以点的坐标， ………10分

直线的斜率为

…………12分

所以为定值， …………13分

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

以椭圆的中心O为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C的左顶点为P，左焦点为F，上顶点为Q，且满足.

（1）求椭圆C及其“准圆”的方程；

（2）若椭圆C的“准圆”的一个弦ED（不与坐标轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，试证明：当时，试问弦ED的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

正确答案

见解析

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图6，圆，P是圆C上的任意一动点，A点坐标为（2，0），线段PA的垂直平分线l与半径CP交于点Q.

（1）求点Q的轨迹G的方程；

（2）已知B，D是轨迹G上不同的两个任意点，M为BD的中点. ①若M的坐标为M

（2，1），求直线BD所在的直线方程；②若BD不经过原点，且不垂直于x轴，点O为轨迹G的中心. 求证：直线BD和直线OM的斜率之积是常数（定值）.

正确答案

见解析。

解析

（1）圆C的圆心为C（-2，0），半径r=6，.

连结，由已知得，

所以.

根据椭圆的定义，点Q的轨迹G是中心在原点，以C、A为焦点，长轴长等于的椭圆，

即a=3，c=2，，

所以，点Q的轨迹G的方程为.

（2）①设B、D的坐标分别为、，

则

两式相减，得，

当BD的中点M的坐标为（2，1）时，有，

所以，即.

故BD所在的直线方程为，即.

②证明：设，且，

由①可知,

又

所以（定值）.

知识点

相关点法求轨迹方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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