热门试卷

（1）依题意得，解得a=1.

所以，

故双曲线C的方程为.

（2）设，则有 。

两式相减得： ，

由题意得，，，

所以，即.

故直线AB的方程为.

（3）假设A、B、C、D四点共圆，且圆心为P. 因为AB为圆P的弦，所以圆心P在AB垂直平分线CD上；又CD为圆P的弦且垂直平分AB，故圆心P为CD中点M.

下面只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可。

由得：A（-1，0），B（3，4）.

由（1）得直线CD方程：，

由得：C（-3+，6-），D（-3-，6+），

所以CD的中点M（-3，6）.

因为，，

，，

所以，

即 A、B、C、D四点在以点M（-3，6）为圆心，为半径的圆上.

（1）当即时，轨迹是以、为焦点的椭圆

当时，轨迹是线段

当时，轨迹不存在

（2）以线段的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，

可得轨迹的方程为

①解法1：设表示点到线段的距离

，

要使的面积有最大值，只要有最大值

当点与椭圆的上顶点重合时，

的最大值为

解法2：在椭圆中，设，记

点在椭圆上，由椭圆的定义得：

在中，由余弦定理得：

配方，得：

从而

得

根据椭圆的对称性，当最大时，最大

当点与椭圆的上顶点重合时，

最大值为

②结论：当时，显然存在除、外的两点、关于直线对称

下证当与不垂直时，不存在除、外的两点、关于直线对称

证法1：假设存在这样的两个不同的点

设线段的中点为   直线

由于在上，故        ①

又在椭圆上，所以有

两式相减，得

将该式写为，

并将直线的斜率和线段的中点，表示代入该表达式中，

得     ②

①、②得，由（1）代入

得

即的中点为点，而这是不可能的.

此时不存在满足题设条件的点和.

证法2：假设存在这样的两个不同的点

，

则，故直线经过原点。

直线的斜率为，则假设不成立，

故此时椭圆上不存在两点（除了点、点外）关于直线对称

（1）解：依题意，当直线经过椭圆的顶点时，其倾斜角为。    ………………1分

设 ，

则 。                                            ………………2分

将  代入 ，

解得 。                                                   ………………3分

所以椭圆的离心率为 。                                  ………………4分

（2）解：由（1），椭圆的方程可设为。                     ………………5分

设，。

依题意，直线不能与轴垂直，故设直线的方程为，将其代入

，整理得 。         ………………7分

则 ，，。

………………8分

因为 ，

所以 ，。                        ………………9分

因为 △∽△，

所以                ………………11分

。          ………………13分

所以的取值范围是。                                   ………………14分

（1）因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，

一内角为 的菱形的四个顶点,

所以,椭圆的方程为             …………………4分

（2）设因为的垂直平分线通过点， 显然直线有斜率，

当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则

所以

因为，

所以，当且仅当时，取得最大值为  ………………6分

当直线的斜率不为时,则设的方程为

所以，代入得到

当,             即

方程有两个不同的解

又，           …………………9分

所以，又，化简得到    

代入，得到              …………………10分

又原点到直线的距离为

所以

化简得到         …………………12分

因为，所以当时，即时，取得最大值

综上，面积的最大值为                   …………………14分

（1），

椭圆方程为，………………………………2分

准圆方程为，………………………………3分

（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，

设过点且与椭圆相切的直线为，

所以由得。

因为直线与椭圆相切，

所以，解得，………………………………6分

所以方程为，………………………………7分

，，………………………………8分

（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，

则：，

当：时，与准圆交于点，

此时为（或），显然直线垂直；

同理可证当：时，直线垂直，………………………………10分

②当斜率存在时，设点，其中。

设经过点与椭圆相切的直线为，

所以由

得。

由化简整理得，

因为，所以有。

设的斜率分别为，因为与椭圆相切，

所以满足上述方程，

所以，即垂直，………………………………12分

综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直。

所以线段为准圆的直径，，

所以线段的长为定值，………………………………14分

(1) 椭圆E的方程为.

（2） ①因为直线与圆C: 相切于A, 得,

即    ①   又因为与椭圆E只有一个公共点B，

由    ，得 ,且此方程有唯一解.

则   即.

②由①②,得   ② 设，由   得  ,由韦达定理,  ,∵点在椭圆上, ∴

∴,  在直角三角形OAB中, 当且仅当，

∴

（1）依题意不妨设，，则，.

由，得.又因为，

解得.

所以椭圆的方程为.  ……………4分

（2）依题直线的方程为.

由得.

设，，则，.   …………6分

所以弦的中点为.  ……………7分

所以

.     ……………9分

直线的方程为，

由，得，则，

所以.   …………11分

所以.……………12分

又因为，所以.

所以.

所以的取值范围是. ……………………14分

（1）设圆心的坐标为，半径为

由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动

圆与圆只能内切

 ………………………………………2分

圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，

故圆心的轨迹： …………………………………………………………4分

（2）设，直线，则直线

由可得：，

 ……………………………6分

由可得：

………………………………8分

和的比值为一个常数，这个常数为……………………………………9分

（3），的面积的面积，

到直线的距离

 …………………………11分

令，则

（当且仅当，即，亦即时取等号）

当时，取最大值……………………………………………………13分