直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
共263题

· 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点.

直线交椭圆于两不同的点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线不过点,求证：直线与轴围成等腰三角形.

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，已知点是椭圆＝1上的动点，以为切点的切线与直线相交于点。

（1）过点且与垂直的直线为，求与轴交点纵坐标的取值范围；

（2）在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。（注：参考定理：若点在椭圆上，则以为切点的椭圆的切线方程是：）

正确答案

见解析。

解析

解：

知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点。

（1）若，求直线的斜率；

（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值。

正确答案

（1）直线的斜率是

（2）最小值是

解析

（1）解：依题意，设直线方程为，

将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，

设，，所以，， ①

因为，

所以， ②

联立①和②，消去，得，

所以直线的斜率是，

（2）解：由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，

所以四边形的面积等于，

因为

，

所以时，四边形的面积最小，最小值是，

知识点

向量在几何中的应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为。

（1）求椭圆的方程；

（2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；

（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由，，得，，

所以椭圆方程是：-----------------4分

（2）设EF：（）代入，得，

设，，由，得。

由，--------------6分

得，，（舍去），（没舍去扣1分）

直线的方程为：即--------------------9分

（3）将代入，得（*）

记，，PQ为直径的圆过，则，即，又，，得。

解得，此时（*）方程，

存在，满足题设条件。-----------------14分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点.若的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且.若直线的斜率之和为0，求证：为定值.

正确答案

见解析

解析

（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为

所以，解得，。

故椭圆的方程为。（方法2、待定系数法）

（2）设，，

由：，，两式相减，得到

所以，即，同理，

所以，又因为直线的斜率之和为0，

所以方法2、（可参照方法1给分）

设直线：，代入椭圆，得到

，化简得

（以下略）

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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