直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
共263题

· 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型：简答题

简答题 · 14 分

20.已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切.

（1）求圆的标准方程；

（2）设点为圆上一动点,轴于，若动点满足,其中为非零常数，试求动点的轨迹方程；

（3）在（2）的结论下，当时，得到动点的轨迹曲线，与垂直的直线与曲线交于两点，求面积的最大值.

正确答案

解析

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知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程相关点法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

20. 如图，已知定点，点是定直线上的动点，∠的角平分线交于．

（1）求点的轨迹方程；

（2）若（1）中轨迹上是否存在一点，直线与,使得∠是直角？如果存在，求点坐标；如果不存在，请说明理由。

正确答案

解析

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知识点

直接法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．如图，椭圆C：（a>b>0）的离心率e=，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与AB交于点D，若△ADC的面积为15．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在分别以AD，AC为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

（Ⅰ）解：设左焦点F的坐标为（-c，0），其中c=，

∵e=，∴a=c，b=c．

∴A（0，c），B（-c，0），C（0，-c），

∴AB：，CF：，

联立解得D点的坐标为（-c，c）．

∵△ADC的面积为15，∴|xD|·|AC|=15，即·c·2·c=15，

解得c=3，∴a=5，b=4，∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（-，1）．

假设存在这样的两个圆M与圆N，其中AD是圆M的弦，AC是圆N的弦，

则点M在线段AD的垂直平分线上，点N在线段AC的垂直平分线y=0上．

当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有A，M，N在一条直线上，且AM=AN．

∴M、N关于点A对称，设M（x1，y1），则N（-x1，8-y1），

根据点N在直线y=0上，∴y1=8．∴M（x1，8），N（-x1，0），

而点M 在线段AD的垂直平分线y-=-（x+）上，可求x1=-．

故存在这样的两个圆，且这两个圆的圆心坐标分别为

M（-，8），N（0）．

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知定点，B是圆（C为圆心）上的动点，AB的垂直平分线与BC交于点E.

（1）求动点E的轨迹方程；

（2）设直线与E的轨迹交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：OPQ面积的最大值及此时直线的方程.

正确答案

解：（1）由题知

又

点E的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，

E的轨迹方程为

（2）设，PQ的中点为

将直线与联立得

，即 ①

又

依题意有，整理得 ②

由①②可得，

设O到直线的距离为，则

当时，的面积取最大值1，此时，

直线方程为

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知识点

直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程定义法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．如图，已知抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心在轴的正半轴上，圆与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交直线于点，交圆于不同的两点，且。

（1）求圆和抛物线的方程；

（2）若为抛物线上的动点，求的最小值；

（3）过直线上的动点向圆作切线，切点分别为，求证：直线恒过一个定点，并求该定点的坐标．

正确答案

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知识点

圆的标准方程抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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