- 极坐标系
- 共746题
已知直线l是过点P(-1,2),方向向量为=(-1,
)的直线,圆方程ρ=2cos(θ+
)
(1)求直线l的参数方程
(2)设直线l与圆相交于M,N两点,求|PM|•|PN|的值.
正确答案
解:(1)∵,∴直线的倾斜角α=
,
∴直线的参数方程为,(t为参数)
即(t为参数)
(2)∵ρ=2(cosθ-
sinθ)=cosθ-
sinθ,
∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ,
∴x2+y2-x-y=0,将直线的参数方程代入得t2+2
t+6-2
=0,
∴|t1t2|=6-2.
解析
解:(1)∵,∴直线的倾斜角α=
,
∴直线的参数方程为,(t为参数)
即(t为参数)
(2)∵ρ=2(cosθ-
sinθ)=cosθ-
sinθ,
∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ,
∴x2+y2-x-y=0,将直线的参数方程代入得t2+2
t+6-2
=0,
∴|t1t2|=6-2.
化极坐标方程3ρcosθ+4ρsinθ=2为直角坐标方程为______.(请化为一般方程)
正确答案
3x+4y-2=0
解析
解:将原极坐标方程3ρcosθ+4ρsinθ=2,
化成直角坐标方程为:3x+4y=2,即3x+4y-2=0.
故答案为:3x+4y-2=0.
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2
sinθ.
(Ⅰ)写出⊙C的直角坐标方程;
(Ⅱ)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.
正确答案
解:(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.
∴ρ2=2,化为x2+y2=
,
配方为=3.
(II)设P,又C
.
∴|PC|==
≥2
,
因此当t=0时,|PC|取得最小值2.此时P(3,0).
解析
解:(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.
∴ρ2=2,化为x2+y2=
,
配方为=3.
(II)设P,又C
.
∴|PC|==
≥2
,
因此当t=0时,|PC|取得最小值2.此时P(3,0).
已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为
(θ为参数).则直线l的倾斜角为______;设点Q是曲线C上的一个动点,则点Q到直线l的距离的最小值为______.
正确答案
解析
解:由直线l的参数方程为(t为参数),得y=
x+1,则直线l的斜率为k=
,
设l的倾斜角为α,由0≤α<π,且tanα=,所以
;
由曲线C的参数方程为(θ为参数),则(x-2)2+y2=1.
所以曲线C为以(2,0)为圆心,以1为半径的圆,
则圆心C到直线l的距离为d=,
所以曲线C上的一个动点Q到直线l的距离的最小值为.
故答案为,
.
(请在下列两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
(1)(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,P,Q是曲线C:ρ=4sinθ上任意两点,则线段PQ长度的最大值为______.
(2)如图,圆O是△ABC的外接圆,过点C的切线交AB的延长线于点D,CD=2,AB=BC=3,则AC的长为______.
正确答案
4
解析
解:(1)曲线C:ρ=4sinθ 即x2+(y-2)2=4,表示一个以(0,2)为圆心,以2为半径的圆.
线段PQ长度的最大值即圆x2+(y-2)2=4的直径,
故答案为 4.
(2)由切割线定理得:DB•DA=DC2,即DB(DB+BA)=DC2,即 DB2+3DB-28=0,解得DB=4.
∵∠A=∠BCD,∴△DBC∽△DCA,∴=
,
AC==
,
故答案为 .
扫码查看完整答案与解析