- 数列的概念与简单表示法
- 共4462题
观察此数列1，3，6，10，x，21，28，…，项之间的关系并推测出x的值是（ ）
正确答案
解析
解：由数列1，3，6，10，x，21，28，…，
可得：3-1=2，
6-3=3，
10-6=4，
∴x-10=5，解得x=15．
21-15=6，
28-21=7，
…．
因此x=15．
故选：B．
已知数列{an}的通项公式为an=
正确答案
解：∵列{an}的通项公式为an=
∴an+1=
∴an+1-an=
即an+1＞an，
∴数列{an}是单调递增数列．
解析
解：∵列{an}的通项公式为an=
∴an+1=
∴an+1-an=
即an+1＞an，
∴数列{an}是单调递增数列．
设数列{an}的通项公式为an=n2+kn（n∈N+），若数列{an}是单调递增数列，求实数k的取值范围．
正确答案
解：∵数列{an}是单调递增数列，
∴an+1＞an（n∈N+）恒成立．
又an=n2+kn（n∈N+），
∴（n+1）2+k（n+1）-（n2+kn）＞0恒成立，
即2n+1+k＞0，
∴k＞-（2n+1）（n∈N+）恒成立．
当n=1时，-（2n+1）的最大值为-3，
∴k＞-3即为所求范围．
解析
解：∵数列{an}是单调递增数列，
∴an+1＞an（n∈N+）恒成立．
又an=n2+kn（n∈N+），
∴（n+1）2+k（n+1）-（n2+kn）＞0恒成立，
即2n+1+k＞0，
∴k＞-（2n+1）（n∈N+）恒成立．
当n=1时，-（2n+1）的最大值为-3，
∴k＞-3即为所求范围．
若数列{an}的前n项和为Sn=n2+1，则（ ）
Aan=2n-1
Ban=2n+1
C
D
正确答案
解析
解：由题意知，当n=1时，a1=s1=1+1=2，
当n≥2时，an=sn-sn-1=（n2+1）-[（n-1）2+1）]=2n-1，
经验证当n=1时不符合上式，
∴an=
故选C．
已知数列
正确答案
解析
解：由已知得到数列的通项公式an=
故选B
已知数列{an}中，a1=1，an+3≤an+3，an+2≥an+2．求a2007．
正确答案
解：由题设an+2≥an+2，可得a2007≥a2005+2≥a2003+2×2≥…≥a1+2×1003=2007．
由 an+2≥an+2，得an≤an+2-2，则an+3≤an+3≤an+2-2+3=an+2+1（n≥1）．
于是 a2007≤a2006+1≤a2005+1×2≤a2002+3+1×2≤a1999+3×2+1×2≤…≤a1+3×668+1×2=2007，
∴a2007=2007．
解析
解：由题设an+2≥an+2，可得a2007≥a2005+2≥a2003+2×2≥…≥a1+2×1003=2007．
由 an+2≥an+2，得an≤an+2-2，则an+3≤an+3≤an+2-2+3=an+2+1（n≥1）．
于是 a2007≤a2006+1≤a2005+1×2≤a2002+3+1×2≤a1999+3×2+1×2≤…≤a1+3×668+1×2=2007，
∴a2007=2007．
已知数列{an}中，an=n2+（λ+1）n，（x∈N*），且an+1＞an对任意x∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：∵an+1＞an，
∵an=n2+（λ+1）n恒成立
即（n+1）2+（λ+1）（n+1）＞n2+（λ+1）n，
∴λ+1＞-2n-1对于n∈N*恒成立．
而-2n-1在n=1时取得最大值-3，
∴λ+1＞-3，即λ＞-4．
故选D．
数列的通项公式是an=
正确答案
解：由题意，
解得n=7，
所以0.98是数列的第7项．
解析
解：由题意，
解得n=7，
所以0.98是数列的第7项．
已知数列{an}的通项公式为
正确答案
＜
解析
解：∵
∴
∵
∴
∴{an}是递增数列，
故an＜an+1，
故答案为：＜．
某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，今年年初组织一些同学自筹资金196万元购进一台设备，并立即投入生产自行设计的产品，计划第一年维修、保养费用24万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加8万元，该设备使用后，每年的总收入为100万元，设从今年起使用n年后该设备的盈利额为f（n）万元．
（Ⅰ）写出f（n）的表达式；
（Ⅱ）求从第几年开始，该设备开始盈利；
（Ⅲ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备；方案二：当盈利额达到最大值时，以16万元价格处理该设备．问用哪种方案处理较为合算？请说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）依题意，得
（Ⅱ）由f（n）＞0得：-4n2+80n-196＞0即n2-20n+49＜0，解得
（Ⅲ）方案①：年平均盈利为
共盈利24×7+52=220万元．
方案②：f（n）=-4（n-10）2+204，当n=10时，取得最大值204，即经过10年盈利总额最大，共计盈利204+16=220万元．
两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．
解析
解：（Ⅰ）依题意，得
（Ⅱ）由f（n）＞0得：-4n2+80n-196＞0即n2-20n+49＜0，解得
（Ⅲ）方案①：年平均盈利为
共盈利24×7+52=220万元．
方案②：f（n）=-4（n-10）2+204，当n=10时，取得最大值204，即经过10年盈利总额最大，共计盈利204+16=220万元．
两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．
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