- 数列的概念与简单表示法
- 共4462题
设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n2+n+1，n∈N+．
（1）求a1及an；
（2）判断数列{an}是否为等差数列？并说明理由．
正确答案
解：（1）当n=1时，a1=S1=2+1+1=4；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n+1-[2（n-1）2+（n-1）+1]=4n-1，
∴
（2）∵an=4n-1对于n=1时不适合，∴数列{an}不是等差数列，
而只是从n≥2时是等差数列．
解析
解：（1）当n=1时，a1=S1=2+1+1=4；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n+1-[2（n-1）2+（n-1）+1]=4n-1，
∴
（2）∵an=4n-1对于n=1时不适合，∴数列{an}不是等差数列，
而只是从n≥2时是等差数列．
已知函数f（x）=
正确答案
[7，8）
解析
解：∵{an}是单调递增数列，
∴
∴a的取值范围是[7，8）．
故答案为：[7，8）．
已知数列
正确答案
解析
解：由数列
令
故2
故选B．
若有穷数列{an}满足：（1）首项a1=1，末项am=k；（2）an+1=an+1或an+1=2an，（n=1，2，…，m-1），则称数列{an}为k的m阶数列．
（Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；
（Ⅱ）设数列{bn}是各项为自然数的递增数列，若
正确答案
解：（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10． …（2分）
（Ⅱ）由已知在数列{an}中 an+1=an+1或an+1=2an，
当an为偶数时，an-1=
因为
当要使项数m最小，只需 an-1=
当am为奇数时，必然有 an-1=an-1，（an≥2），an-1是偶数，可继续重复上面的操作．
所以要使项数m最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数则减1．
因为an=
只需除以
减1，得到 
再除以 
再减1，得到 
…
最后得到 
所以 m=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+（b4-b3）+…+（bl-bl-1）+（l-1）+1=bl+l． …（13分）
解析
解：（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10． …（2分）
（Ⅱ）由已知在数列{an}中 an+1=an+1或an+1=2an，
当an为偶数时，an-1=
因为
当要使项数m最小，只需 an-1=
当am为奇数时，必然有 an-1=an-1，（an≥2），an-1是偶数，可继续重复上面的操作．
所以要使项数m最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数则减1．
因为an=
只需除以
减1，得到
再除以
再减1，得到
…
最后得到
所以 m=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+（b4-b3）+…+（bl-bl-1）+（l-1）+1=bl+l． …（13分）
学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜；而选B菜的，下星期一会有30%改选A菜，用an表示第n个星期一选A的人数，如果a1=428，则a4的值为______．
正确答案
316
解析
解：∵a1=428，
则a2=（1-20%）•428+30%（500-428）=364，
a3=（1-20%）•364+30%（500-364）=332．
∴a4=（1-20%）•332+30%（500-332）=316．
故答案为：316．
若数列{an}的前n项和Sn=3n，则数列的通项公式是______．
正确答案
an=
解析
解：由于数列{an}的前n项和Sn=3n，故首项a1=s1=3，
当n≥2时，an=sn-sn-1=3n-3n-1=23n-1．
综上可得，an=
故答案为an=
数列{an}，通项公式为
Aa≥-1
Ba＞-3
Ca≤-2
D
正确答案
解析
解：an+1-an=[（n+1）2+2a（n+1）]-（n2+2an）=2n+1+2a，
若此数列为递增数列，则an+1-an＞0，即2n+1+2a＞0，
所以a＞-n-
而-n-
故选D．
数列{an}中，an=
正确答案
解析
解：an=
当n≤5时，数列{an}单调递减，an＜2；当n≥6时，数列{an}单调递减，an＞2．
∴当n=6时，数列{an}取得最大值．
故选：C．
在数列{an}中，若a1=2，且对任意的正整数p，q都有ap+q=apaq，则a8的值为（ ）
正确答案
解析
解：∵数列{an}中，且对任意的正整数p，q都有ap+q=apaq，又a1=2，
∴令p=q=1，
则a2=a1•a1=4，
再令p=q=2，同理可求得a4=16，
最后令p=q=4，a8=a4•a4=256．
故选A．
已知函数f（x）=3x-1的反函数为f-1（x），且f-1（17）=a+2
（1）求a的值；
（2）若f-1（an-1）=log3n，Sn是数列{an}的前n项和，若不等式λan≤2n•Sn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．
正确答案
解：（Ⅰ）令y=3x-1＞-1，则x=log3（y+1），
∴f-1（x）=log3（x+1），x＞-1．
∵f-1（17）=a+2，即log318=a+2，
解得 a=log32． （6分）
（Ⅱ）∵f-1（an-1）=log3n，
∴log3an=log3n，即an=n．
则数列{an}的前n项和
要使
即使λ≤2n-1•（n+1）对任意n∈N*恒成立．
又数列
∴bn的最小值为b1=2，
∴λ≤2，即λ的最大值为2．
解析
解：（Ⅰ）令y=3x-1＞-1，则x=log3（y+1），
∴f-1（x）=log3（x+1），x＞-1．
∵f-1（17）=a+2，即log318=a+2，
解得 a=log32． （6分）
（Ⅱ）∵f-1（an-1）=log3n，
∴log3an=log3n，即an=n．
则数列{an}的前n项和
要使
即使λ≤2n-1•（n+1）对任意n∈N*恒成立．
又数列
∴bn的最小值为b1=2，
∴λ≤2，即λ的最大值为2．
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