- 数列的概念与简单表示法
- 共4462题
在数列（an）中，an=2n-1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）
正确答案
解析
解：该矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj=（2i-1）（2j-1）+2i-1+2j-1=2i+j-1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），
当且仅当：i+j=m+n时，aij=amn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12），
因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．
故选A．
数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是an=______．
正确答案
4n-3
解析
解：∵5-1=9-5=13-9=4，…，
∴数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是an=1+4（n-1）=4n-3．
故答案为：4n-3．
若数列{an}，满足an+1=
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意知
∵a1=
同理可得a3=2a2-1=
则此数列的周期是3，
∴a2013=a3×671=
故选C．
附加题（10分，总分120以上有效）
（1）设函数f（x）=（x-3）3+x-1，{an}是公差不为0的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，则a1+a2+…+a7=______
（2）若Sn=sin
正确答案
解：（1）解：∵f（x）=（x-3）3+x-1，∴f（x）-2=（x-3）3+x-3，
令g（x）=f（x）-2，
∴g（x）关于（3，0）对称，
∵f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，
∴f（a1）-2+f（a2）-2+…+f（a7）-2=0
∴g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0，
∴g（a4）为g（x）与x轴的交点，
因为g（x）关于（3，0）对称，所以a4=3，
∴a1+a2+…+a7=7a4=21，
故答案为：21．
（2）解：∵sin
∴S1=sin
S2=sin
S8=sin
…，
S12＞0，
而S13=sin
S14=S13+sin
又S15=S14+sin
∴S14n-1=0，S14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，
∴在S1，S2，…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．
故在S1，S2，…，S100中，正数的个数是86．
故答案为：86．
解析
解：（1）解：∵f（x）=（x-3）3+x-1，∴f（x）-2=（x-3）3+x-3，
令g（x）=f（x）-2，
∴g（x）关于（3，0）对称，
∵f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，
∴f（a1）-2+f（a2）-2+…+f（a7）-2=0
∴g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0，
∴g（a4）为g（x）与x轴的交点，
因为g（x）关于（3，0）对称，所以a4=3，
∴a1+a2+…+a7=7a4=21，
故答案为：21．
（2）解：∵sin
∴S1=sin
S2=sin
S8=sin
…，
S12＞0，
而S13=sin
S14=S13+sin
又S15=S14+sin
∴S14n-1=0，S14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，
∴在S1，S2，…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．
故在S1，S2，…，S100中，正数的个数是86．
故答案为：86．
已知数列{an}满足：a1=1，
正确答案
解析
解：由于数列{an}满足：a1=1，
则数列的后一项为前一项的
故数列为一个递减的等比数列．
故答案为：B
数列{an}是正项等比数列，{bn}是等差数列，且a6=b7，则有（ ）
正确答案
解析
解：∵{bn}是等差数列，
∴b4+b10=2b7，
∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，
∵数列{an}是正项等比数列，∴a3+a9=
∴a3+a9≥b4+b10．
故选：B．
数列{-2n2+13n-1}中数值最大的项是第______项．
正确答案
3
解析
解：an=-2n2+13n-1=
∴当n=3时，an取得最大项．
故答案为：3．
设a＞0，an=n•an，若{an}是单调递减数列，则实数a的取值范围为______．
正确答案
（0，
解析
解：∵an=n•an，∴
∵{an}是单调递减数列，
∴an+1-an=（n+1）an+1-nan＜0，
∵a＞0，
∴
∴
∵n≥1，
∴
∴a的取值范围是（0，
故答案为：（0，
观察数列：-1，3，-7，（ ）-31，63，括号中的数字应为（ ）
正确答案
解析
解：观察数列：-1，3，-7，（ ）-31，63，
可知规律：
∴括号中的数字为
故选：B．
在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色，先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第57个数是 ______．
正确答案
103
解析
第1个为1
第2，3个为2，4
第4，5，6个为5，7，9
第7到10个为：10，12，14，16
第11到15个为：17，19，21，23，25
第16到21个为：26，28，30，32，34，36
第22到28个为：37，39，41，43，45，47，49
第29到36个为：50，52，54，56，58，60，62，64
第37到45个为：65，67，69，71，73，75，77，79，81
第46到55个为：82，84，86，88，90，92，94，96，98，100，
第56，57两个是101，103，
∴第57 个数字是103，
故答案为：103．
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