- 数列的概念与简单表示法
- 共4462题
已知Sn是数列{an}的前n项和，且an=Sn-1+2（n≥2），a1=2．求数列{an}的通项公式．
正确答案
解：∵an=Sn-1+2（n≥2），a1=2．
∴an+1=Sn+2，
∴an+1-an=an，化为an+1=2an．
又a1=2，a2=4，a3=8，满足上述关系．
∴数列{an}是等比数列，
∴an=2n．
解析
解：∵an=Sn-1+2（n≥2），a1=2．
∴an+1=Sn+2，
∴an+1-an=an，化为an+1=2an．
又a1=2，a2=4，a3=8，满足上述关系．
∴数列{an}是等比数列，
∴an=2n．
已知数列{an}的通项公式为
正确答案
90
解析
解：∵an=3n2+15，
∴a5=3×25+15=90．
故答案为：90．
已知数列an的通项公式an=
正确答案
解：∵f（n）=（1-a1）（1-a2）…（1-an），
根据其结构特点可得：
解析
解：∵f（n）=（1-a1）（1-a2）…（1-an），
根据其结构特点可得：
已知数列{an}的通项公式为an=n2+kn+5，若对于任意的正整数n，都有an+1＞an，则实数K的范围为______．
正确答案
k＞-3
解析
解：∵对于任意的正整数n，都有an+1＞an，
∴（n+1）2+k（n+1）+5＞n2+kn+5，
化为k＞-（2n+1），
由于数列{-（2n+1）}单调递减，
∴-（2n+1）≤-3．
∴k＞-3，
故答案为：k＞-3．
数列{an}的通项公式an=（n+1）•（
正确答案
9或10
解析
解：因an=（n+1）
则
∴n≤9，
即n≤9时，an+1≥an，
当n＞9时，an+1＜an，
∴a9或a10最大
故答案为：9或10．
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵
∴
所以，ak+1-ak=
故选A．
已知点列T：P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pk（xk，yk） （k∈N*，k≥2）满足P1（1，1），
（1）写出满足k=4的所有点列；
（2）证明：对于任意给定的k（k∈N*，k≥2），不存在点列T，使得
（3）当k=2n-1且P2n-1（n，n）（n∈N*，n≥2）时，求
正确答案
解：（1）符合条件的点列T为：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，2），P4（3，2），
或P1（1，1），P2（2，1），P3（2，2），P4（3，2），
或P1（1，1），P2（2，1），P3（3，1），P4（3，2）；
（2）证明：由已知xi+yi=xi-1+yi-1+1，则数列{xi+yi}是公差为1的等差数列，
由x1+y1=2，可得xi+yi=i+1（i=1，2，…，k），
若存在点列T，使得
由k和k+3一个为奇数，一个为偶数，且k≥2，而整数2k+1不含大于1的奇因子，
故对于任意给定的k（k∈N*，k≥2），不存在点列T，使得
（3）由已知yi=i+1-xi（i=1，2，…，2n-1），
=（x1+x2+…+x2n-1）（（2+3+…+2n）-（x1+x2+…+x2n-1）），
令t=x1+x2+…+x2n-1，则
考虑f（t）=t[（n+1）（2n-1）-t]，
①当n为奇数时，可得
构造数列{xi}：1，2，…，
对应数列{yi}：1，1，…，1，2，…，n，…，n．
而此时x1+x2+…+x2n-1，=1+2+…+n+
=
所以t=
②当n为偶数时，可得
构造数列{xi}：1，2，…，
对应数列{yi}：1，1，…，1，2，…，
而此时x1+x2+…+x2n-1，=1+2+…+n+
所以t=
解析
解：（1）符合条件的点列T为：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，2），P4（3，2），
或P1（1，1），P2（2，1），P3（2，2），P4（3，2），
或P1（1，1），P2（2，1），P3（3，1），P4（3，2）；
（2）证明：由已知xi+yi=xi-1+yi-1+1，则数列{xi+yi}是公差为1的等差数列，
由x1+y1=2，可得xi+yi=i+1（i=1，2，…，k），
若存在点列T，使得
由k和k+3一个为奇数，一个为偶数，且k≥2，而整数2k+1不含大于1的奇因子，
故对于任意给定的k（k∈N*，k≥2），不存在点列T，使得
（3）由已知yi=i+1-xi（i=1，2，…，2n-1），
=（x1+x2+…+x2n-1）（（2+3+…+2n）-（x1+x2+…+x2n-1）），
令t=x1+x2+…+x2n-1，则
考虑f（t）=t[（n+1）（2n-1）-t]，
①当n为奇数时，可得
构造数列{xi}：1，2，…，
对应数列{yi}：1，1，…，1，2，…，n，…，n．
而此时x1+x2+…+x2n-1，=1+2+…+n+
=
所以t=
②当n为偶数时，可得
构造数列{xi}：1，2，…，
对应数列{yi}：1，1，…，1，2，…，
而此时x1+x2+…+x2n-1，=1+2+…+n+
所以t=
已知数列的通项公式an=-2n2+16n+5，其中最大的一项是第（ ）项．
正确答案
解析
解：an=-2n2+16n+5=-2（n-4）2+37，
因此其中最大的一项是第4项．
故选：B．
（1）此数表中的第6行第3列的数为______；
（2）数列{bn}的通项公式为______．
正确答案
20
bn=2n-1+n+1
解析
解：（1）根据题意，得
a4，2=3+4=7，a5，2=4+5=9，a6，2=5+6=11
∵ai+1，j+1=ai，j+ai+1，j，
∴第6行第3列的数a6，3=a5，2+a6，2=9+11=20
（2）将3，5，8，13，22，39，…，bn，
各项依次减去2，3，4，5，6，7，…，n+1，
得1，2，4，8，16，32，…，2n-1，
∴bn-（n+1）=2n-1，得bn=2n-1+n+1，即为数列{bn}的通项公式
故答案为：20，bn=2n-1+n+1
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+1（n∈N*），则an=______．
正确答案
解：∵数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n+1（n∈N*），
∴当n≥2时，Sn-1=（n-1）2+2（n-1）+1，
∴an=Sn-Sn-1
=（n2+2n+1）-[（n-1）2+2（n-1）+1]
=2n+1；
当n=1时，a1=S1=4；
∴an=
故答案为：
解析
解：∵数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n+1（n∈N*），
∴当n≥2时，Sn-1=（n-1）2+2（n-1）+1，
∴an=Sn-Sn-1
=（n2+2n+1）-[（n-1）2+2（n-1）+1]
=2n+1；
当n=1时，a1=S1=4；
∴an=
故答案为：
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