直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线G：x=a2上的射影依次为点D、E．

（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；

（2）若为x轴上一点，求证：．

正确答案

解析

解：由题意，已知直线L：的右焦点F，故有c=1

（1）抛物线的焦点为（0，）故椭圆C的上顶点的坐标为（0，），可得b=，由椭圆的性质得a=2

故椭圆C的方程为

（2）设A（x1，y1）B（x2，y2）E（a2，y2）D（a2，y1）

令，即（a2+b2m2）y2+2mb2y+b2（1-a2）=0

△=4a2b2（a2+m2b2-1）＞0（a＞1）

∵=

∴kAN=KEN

∴A、N、E三点共线

∴故存在实数λ使得．

1

题型：单选题

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单选题

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（　　）

A

Be2-1

C

De2+1

正确答案

A

解析

解：∵M在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，

∴M的横坐标为，∴M（，p）

设双曲线方程为（a＞0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则

，

两式相减，并将线段AB中点M的坐标代入，可得

∴

故选A．

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且以为其一条渐近线，则双曲线方程为______，过其右焦点且长为4的弦有______条．

正确答案

3

解析

解：由双曲线与椭圆有相同的焦点，可设双曲线的方程为，

以为其一条渐近线，所以，①6=a2+b2②，

由①②解得：a2=4，b2=2．

所以双曲线的方程为；

右焦点坐标为（），当过右焦点的直线垂直x轴时，代入双曲线方程得y=±1，即弦长为2＜4，故过右焦点的在右支上有2条弦长为4的直线，

加上过右焦点的x轴的弦长为2+2=4．故一共有3条．

故答案为：；3

1

题型：简答题

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简答题

设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x1，y1），B（x2，y2）且y1y2=-4．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若=2（+）（O为坐标原点），且点E在抛物线C上，求△EAB的面积；

（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k0，k1，k2．

求证：当k0为定值时，k1+k2也为定值．

正确答案

解：（1）点F（，0），设直线l的方程为x-=my，

则与y2=2px联立，消去x得，

y2-2pmy-p2=0，

又∵经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x1，y1），B（x2，y2）且y1y2=-4．

∴y1y2=-p2=-4，

∴p=2，

∴抛物线C的方程为y2=4x．

（2）∵=2（+）=（2（x1+x2），2（y1+y2）），

∴点E（2（x1+x2），2（y1+y2）），

则由题意得，

，

不妨设m＞0，

解得，m=，|y1-y2|=2，点E（8，4），

直线l的方程为2x-y-2=0，

则|AB|==6，

点E到直线l的距离d==，

则S△EAB=×6×=3．

（3）设点M（-1，y），则

k0=，则y=-2k0，

k1+k2=+=

=

又∵y1y2=-4，y1+y2=4m，

则k1+k2=

==-y=2k0．

∵k0为定值，

∴k1+k2=2k0也为定值．

解析

解：（1）点F（，0），设直线l的方程为x-=my，

则与y2=2px联立，消去x得，

y2-2pmy-p2=0，

又∵经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x1，y1），B（x2，y2）且y1y2=-4．

∴y1y2=-p2=-4，

∴p=2，

∴抛物线C的方程为y2=4x．

（2）∵=2（+）=（2（x1+x2），2（y1+y2）），

∴点E（2（x1+x2），2（y1+y2）），

则由题意得，

，

不妨设m＞0，

解得，m=，|y1-y2|=2，点E（8，4），

直线l的方程为2x-y-2=0，

则|AB|==6，

点E到直线l的距离d==，

则S△EAB=×6×=3．

（3）设点M（-1，y），则

k0=，则y=-2k0，

k1+k2=+=

=

又∵y1y2=-4，y1+y2=4m，

则k1+k2=

==-y=2k0．

∵k0为定值，

∴k1+k2=2k0也为定值．

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题型：填空题

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填空题

已知F1，F2为双曲线的焦点，点A在双曲线上，点M坐标为，且△AF1F2的一条中线恰好在直线AM上，则线段AM长度为______．

正确答案

或3

解析

解：由题意，M在直线OA上，∵点M坐标为，∴直线OA的方程为y=x

代入双曲线，可得x2=12，∴x=±2，

当A（2，2）时，∵点M坐标为，∴线段AM长度为=；

当A（-2，-2）时，∵点M坐标为，∴线段AM长度为=3；

故答案为：或3

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题型：简答题

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简答题

已知点A（m，4）（m＞0）在抛物线x2=4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线另一个交点分别为B、C．

（I）求证：直线BC的斜率为定值；

（II）若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．

正确答案

（I）证明：∵点A（m，4）（m＞0）在抛物线x2=4y上，∴m=4

设B（x1，y1），C（x2，y2），则kAB+kAC=+=0

∴x1+x2=-8

∴=-2

∴直线BC的斜率为定值-2；

（II）解：设直线BC的方程为y=-2x+b，P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线BC对称，

设PQ中点M（x0，y0），则==，

∴x0=1，故M（1，-2+b）

∵M在抛物线内部，

∴-2+b＞，解得b＞

y=-2x+b代入抛物线可得x2+8x-4b=0，

∴x3+x4=-8，x3x4=-4b

∴|BC|==＞10

∴|BC|的取值范围为（10，+∞）．

解析

（I）证明：∵点A（m，4）（m＞0）在抛物线x2=4y上，∴m=4

设B（x1，y1），C（x2，y2），则kAB+kAC=+=0

∴x1+x2=-8

∴=-2

∴直线BC的斜率为定值-2；

（II）解：设直线BC的方程为y=-2x+b，P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线BC对称，

设PQ中点M（x0，y0），则==，

∴x0=1，故M（1，-2+b）

∵M在抛物线内部，

∴-2+b＞，解得b＞

y=-2x+b代入抛物线可得x2+8x-4b=0，

∴x3+x4=-8，x3x4=-4b

∴|BC|==＞10

∴|BC|的取值范围为（10，+∞）．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线C1：-=1的左准线l，左右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的准线为l，焦点为F2，P是C1与C2的一个交点，则|PF2|=（　　）

A40

B32

C8

D9

正确答案

D

解析

解：由题设条件知a=3，b=4，c=5，

如图，

设|PF2|=m，

根据抛物线的定义得：P到左准线l的距离为m，

则P到左准线l的距离为m-，

根据双曲线的定义得：

代入a，b，c的值得：⇒m=9，

故选D．

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题型：简答题

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简答题

（2014秋•建瓯市校级月考）直线y-ax-1=0与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？

正确答案

解：在方程组中消去y得，（3-a2）x2-2ax-2=0；

①当a≠±时，△=（-2a）2+8（3-a2）=24-4a2，

由△＞0得，且a≠±时，方程组有两组有两解，

此时直线与双曲线有两个交点，若要A、B在双曲线同一支上，则方程①的两根同号，

故x1•x2=0，

∴a＞或a＜-．

∴当或时，

A、B两点在双曲线的同一支上；

当时，A、B两点在双曲线的两支上．

解析

解：在方程组中消去y得，（3-a2）x2-2ax-2=0；

①当a≠±时，△=（-2a）2+8（3-a2）=24-4a2，

由△＞0得，且a≠±时，方程组有两组有两解，

此时直线与双曲线有两个交点，若要A、B在双曲线同一支上，则方程①的两根同号，

故x1•x2=0，

∴a＞或a＜-．

∴当或时，

A、B两点在双曲线的同一支上；

当时，A、B两点在双曲线的两支上．

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题型：填空题

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填空题

在直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，0）关于原点O对称．点P（x0，y0）在抛物线y2=4x上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0=______．

正确答案

解析

解：∵点B与点A（-1，0）关于原点O对称，∴B（1，0）．

∴，，

∵kAP•kBP=2，

∴，

又∵点P（x0，y0）在抛物线y2=4x上，∴．

代入得到，化为，

解得=．

∵x0＞0，

∴x0=．

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的离心率为，右焦点为（，0）．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．

（Ⅰ）求椭圆G的方程；

（Ⅱ）求△PAB的面积．

正确答案

解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，右焦点为（，0），

∴，解得a=2，

∴b==2，

∴椭圆G的方程为．

（Ⅱ）设l：y=x+b，

代入，得4x2+6bx+3b2-12=0，

根据韦达定理，，

∴yA+yB=，

设M为AB的中点，则M（-，），AB的中垂线的斜率k=-1，

∴AB的中垂线：x+y+=0，将P（-3，2）代入，得b=2，

∴l：x-y+2=0，根据弦长公式可得AB=3，d=，

∴S△PAB==．

解析

解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，右焦点为（，0），

∴，解得a=2，

∴b==2，

∴椭圆G的方程为．

（Ⅱ）设l：y=x+b，

代入，得4x2+6bx+3b2-12=0，

根据韦达定理，，

∴yA+yB=，

设M为AB的中点，则M（-，），AB的中垂线的斜率k=-1，

∴AB的中垂线：x+y+=0，将P（-3，2）代入，得b=2，

∴l：x-y+2=0，根据弦长公式可得AB=3，d=，

∴S△PAB==．

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