热门试卷

解：（1）设P（x，y），圆方程x2-7x+y2+4=0化为标准式：

则有

∴（x-2）2=x2-7x+y2+4，整理可得y2=3x

∴曲线E的方程为y2=3x．

（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角）

代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tcosα），sin2αt2+（2nsinα-3cosα）t+n2-3m=0

由韦达定理得，，==═

令-12n与2n2+6m-9同时为0

得n=0，，此时为定值故存在．

解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F（-1，0），

∴c=1，=，

∴a=，

∴b=，

∴椭圆的方程为．

设点M（x1，y1），N（x2，y2），由F（-1，0）得直线MN的方程为y=k（x+1）．

代入椭圆方程，消去y，整理得（2+3k2）x2+6k2x+3k2-6=0，

可得x1+x2=-，x1x2=．

∵A（-，0），B（，0），

∴=（x1+，y1）•（-x2，-y2）+（x2+，y2）•（-x1，-y1）

=6-2x1x2-2y1y2

=6-2x1x2-2k2（x1+1）（x2+1）

=6-（2+2k2）x1x2-2k2（x1+x2）-2k2

=6+．

由已知得6+=7，解得k=±．

故所求直线L的方程为：和；

（2）假设存在P（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2）满足S△OPE=S△OPG=S△OEG=．

不妨设E（x1，y1），G（x2，y2）两点确定的直线为 l，

（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，E，G两点关于x轴对称，∴x2=x1，y2=-y1，

∵E （x1，y1）在椭圆上，

∴．①

∵S△OEG=，

∴|x1|•|y1|=，②

由①、②得|x1|=，|y1|=1，

此时x12+x22=3，y12+y22=2．

（ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，

由题意知m≠0，将其代入得

（2+3k2）x2+6kmx+3（m2-2）=0，

其中△=36k2m2-12（2+3k2）（m2-2）＞0，

即3k2+2＞m2，（★）

又x1+x2=-，x1x2=，

∴|EG|=•=•．

∵点O到直线l的距离为d=，

∴S△OEG=|EG|•d=•••=．

又S△OEG=，

整理得3k2+2=2m2，且符合（★）式．

此时x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=3，y12+y22=2

综上所述，x12+x22=3，y12+y22=2，结论成立．

同理可得：u2+x12=3，u2+x22=3，v2+y12=2，v2+y22=2，

解得u2=x12=x22=；v2=y12=y22=1．

因此u，x1，x2只能从±中选取，v，y1，y2只能从±1中选取．

因此P、E、G只能在（，±1）这四点中选取三个不同点，

而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S△OPE=S△OPG=S△OEG=矛盾，

∴椭圆C上不存在满足条件的三点P、E、G．

解：（1）设椭圆C1方程为：（a＞b＞0），

∴直线AB方程为：，

∴F1（-1，0）到直线AB距离为d==，化为a2+b2=7（a-1）2，

又b2=a2-1，

解得：a=2，b=．

∴椭圆C1方程为：．

（2）椭圆C1的3倍相似椭圆C2的方程为：．

①若切线m垂直于x轴，则其方程为：x=±2，易求得|MN|=2．

②若切线m不垂直于x轴，可设其方程为：y=kx+m．

将y=kx+m代人椭圆C1方程，得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

∴△=48（4k2+3-m2）=0，即m2=4k2+3，（*）

记M、N两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．

将y=kx+m代人椭圆C2方程，得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-36=0，

∴x1+x2=-，x1x2=，

∴|x1-x2|===，

∴|MN|===

∵3+4k2≥3，∴，即，

综合①②，得：弦长|MN|的取值范围为．

解：（1）因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1（-c，0），F2（c，0），

所以c2+b×0=b2，即c2=b2，由a2=b2+c2=2c2

得椭圆C2的离心率．

（2）由（1）可知a2=2b2，椭圆C2的方程为：

联立抛物线C1的方程x2+by=b2得：2y2-by-b2=0，

解得：或y=b（舍去），所以，

即，所以△QMN的重心坐标为（1，0）．

因为重心在C1上，所以12+b×0=b2，得b=1．

所以a2=2．

所以抛物线C1的方程为：x2+y=1，

椭圆C2的方程为：．

解：（1）建立如图所示的直角坐标系，

由于，，，

∴D（0，1），E（0，2）

设椭圆方程为

∴2c=4⇒c=2，b=1

即椭圆方程为；…（6分）

（2）设p（x1，y1）Q（x2，y2）

∵E（0，2），即．λ=

∴①…（7分）

又∵P，Q都在椭圆上

∴②…（8分）

由①②得∴

消去x2得…（10分）

∵-1≤y2≤1，

∴

又∵P在E，Q之间，又，

∴0＜λ＜1，

∴λ范围为．…（12分）

解：（1）在双曲线中，，

∴焦点为．

在抛物线中，，∴准线为．

∴在椭圆中，．从而．

∴所求椭圆C的方程为．

（2）设弦AB的中点为P（x0，y0），则点P是直线l与直线l′的交点，且直线l⊥l′，∴．

由得：，∴ky0=-3x0．…①

由得：ky0=-x0+k．…②

由①、②得：．

又∵y0=kx0+2，∴，即k2=1，∴k=±1．

在y=kx+2中，当x=0时，y=2，即直线l经过定点M（0，2）．

而定点M（0，2）在椭圆的内部，故直线l与椭圆一定相交于两个不同的交点，

∴k的值为±1．

解：（Ⅰ）由C2：y2=4x知F2（1，0）．

设M（x1，y1），M在C2上，因为，

所以，得，．M在C1上，且椭圆C1的半焦距c=1，

于是

消去b2并整理得9a4-37a2+4=0，解得a=2（不合题意，舍去）．

故椭圆C1的方程为．

（Ⅱ）由知四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O，

因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同，

故l的斜率．设l的方程为．

由

消去y并化简得9x2-16mx+8m2-4=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），，．

因为，所以x1x2+y1y2=0．

x1x2+y1y2

=x1x2+6（x1-m）（x2-m）

=7x1x2-6m（x1+x2）+6m2

==．

所以．此时△=（16m）2-4×9（8m2-4）＞0，

故所求直线l的方程为，或．

解：（1）对于直线l：y=x-3，令y=0，可得x=，

∴焦点为（，0），

∴c=，

∵点（0，b）到直线l的距离为2，

∴=2，

∵b＞0，

∴b=1，

∴a=2，

∴椭圆E的方程；

（2）①当AB为长轴（或短轴）时，由题意，C是椭圆的上下顶点（或左右顶点），；

②当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB：y=kx，代入椭圆方程，可得，

∵|AC|=|CB|，O为AB的中点，

∴OC⊥AB，

∴直线OC的方程为y=-，

同理可得，

∴，，

∴S△ABC=2S△OAC=|OA||OC|=≥=，

当且仅当1+4k2=4+k2，即k=±1时取等号，

∴k=±1时，△ABC的面积最小值，

此时，C（，±）或C（-，±）．