热门试卷

解：设此曲线上的任意一点P（x，y），则

|AP|=，|BP|=；

由题意可得，

=，

即=2；

即（x+5）2+y2=16．

（1）解：设Q（x，y），则

∵点Q到点F（1，0）与到直线x=4的距离之比为，

∴=，

化简可得点Q的轨迹方程E：；

（2）（ⅰ）证明：设P（x0，y0）（y0≠0），

则直线AP的方程为：y=（x+2）

令x=2得M（2，）

∴k1=，

∵k2=，

∴k1k2=，

∵P（x0，y0）在椭圆上，∴

∴k1k2═-为定值．

（ⅱ）直线BP的斜率为，直线m的斜率为，

则直线m的方程为，

∴y=（x-2）+y0=x-+=（x+1），

∴直线m过定点（-1，0）．

解：（1）设P（x，y），由题意得：，化简可得

∴动点P的轨迹方程为----（5分）

（2）∵点M是圆C：x2+（y-3）2=1上的动点，∴|PM|≤|PC|+1，-------（6分）

设椭圆的左焦点为F1（-1，0），依据椭圆的定义知，|PF|=4-|PF1|，------（7分）

∴|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF1|=|PC|-|PF1|+5≤|CF1|+5，

当点P是CF1延长线与椭圆的交点时，|PC|-|PF1|取得最大值，

∴|PM|+|PF|的最大值为，------（10分）

此时直线CF1的方程是y=3x+3，

点P的坐标是方程组的解，消去y得，13x2+24x+8=0，----（11分）

解得，

∴，，----（13分）

此时的P点坐标为（，）．-------------（14分）

（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵抛物线的焦点为F（0，1），

∴可设直线l的方程为：y=kx+1（k≠0）．

联立，消去y并整理得：x2-4kx-4=0

所以x1+x2=4k，x1x2=-4

由对称性知C（-x1，y1），

直线BC的方程为，即

∴直线BC与y轴交于定点D（0，-1）

（2），∴过点A的切线方程为：

即：①，同理可得过点B的切线方程为：

②

①-②得：（x1≠x2）

∴

①+②得：

=

=．

∴y=-1．

∴E（2k，-1），|DE|=2|k|

∴，取等号时，k=±1，

直线l的方程为：y=x+1或y=-x+1．

解：（1）设M（x，y），N（x0，y0），

由得 x=x0，y=λy0，

∴，…（2分）

把N（x0，y0）代入圆的方程得，

化简得．…（4分）

当0＜λ＜1时，M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆．…（5分）

（2））当时，（1）所得曲线C为．

设P（x1，y1），R（x2，y2），Q（x，y）

∵P在l上、R在椭圆上，∴①②…（7分）

设，由比例性质得 ，∴x1=tx，y1=ty，…（8分）

代入①得③…（9分）

∵|OQ|•|OP|=|OR|2，∴，

∴…（10分）

代入②得④…（11分）

由③④联立得=，又t≠0，

∴，原点除外．

化简得点Q的轨迹方程为x2-2x+4y2-4y=0（原点除外）．…（13分）

解：（1）由已知，

解得a=2，b=1，

∴椭圆Γ的方程为；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则

直线l：y=2x+b（b∈R）代入椭圆Γ，可得17x2+16bx+4b2-4=0，

∴△=256b2-16×17（b2-1）＞0，即b2＜17，且x1+x2=-，x1x2=

∴y1y2=4x1x2+2b（x1+x2）+b2=．

∵∠AOB为钝角，

∴x1x2+y1y2=＜0，

∴-2＜b＜2，

∵b=0时，∠AOB为平角，

∴b的取值范围为（-2，0）∪（0，2）．

解：（1）设动点M的坐标为（x，y），∵k1•k2=-，∴，即=1（y≠0）

动点M的轨迹E是中心在原点，半长轴为2，焦点为（±，0）的椭圆

（除去长轴两个端点．）  它的方程是=1（y≠0）．

（2）在，AB的中点为

设C（x1，y1），D（x2，y2），由-4=0△=32k2-8m2+16，x1+x2=-，

∵|AC|=|BD|，∴CD中点就是AB中点，

即-，∵k＞0，∴k=（2）|CD|=

点N到CD的距离d=|m|，S△NCD=|m|=

当且仅当4-m2=m2时等号成立，即m2=2，m=±，此时△＞0，

所以直线的方程为l：y=．