直线与圆锥曲线_章节学习

1

题型：单选题

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单选题

在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱DD1⊥底面ABCD，P为底面ABCD内的一个动点，当△D1PC的面积为定值b（b＞0）时，点P在底面ABCD上的运动轨迹为（　　）

A椭圆

B双曲线

C抛物线

D圆

正确答案

A

解析

解：因为侧棱DD1⊥底面ABCD，P为底面ABCD内的一个动点，△D1PC的面积为定值b（b＞0），

所以点P到线段D1C的距离为定值，

所以在空间点P的圆柱的侧面，

因为点P在平面ABCD上，

所以运动轨迹为椭圆，

故选：A．

1

题型：填空题

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填空题

已知实数m是2，8的等比中项，则圆锥曲线=1的离心率为______．

正确答案

5

解析

解：由题意，实数m是2，8的等比中项，

∴m2=2×8

∴m=±4

m=4时，方程为，表示椭圆，离心率为；

m=-4时，方程为，表示双曲线，离心率为

综上所述，圆锥曲线=1的离心率为或

故答案为：或

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D2

正确答案

D

解析

解：的渐近线方程为

∵一条渐近线方程为

∴①

∵抛物线y2=8x的焦点为（2，0）

∴双曲线中的半焦距为c=2

∴a2+b2=4②

解①②得a=1，b=

所以双曲线的离心率为

故选D

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线的右焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点，则m=______．

正确答案

3

解析

解：双曲线的右焦点F2（，0），

抛物线y2=8x的焦点F（2，0），

∵双曲线的右焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点，

∴，

解得m=3．

故答案为：3．

1

题型：填空题

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填空题

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F为双曲线的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：由题意，∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F为双曲线的一个焦点

∴

∵经过两曲线交点的直线恰过点F

∴，即（c，2c）为双曲线的一个点

∴

∴（c2-a2）c2-4a2c2=a2（c2-a2）

∴e4-6e2+1=0

∴

∵e＞1

∴e=

故答案为：

1

题型：简答题

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简答题

（强化班）已知椭圆经过（1，1）与两点，过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求证：为定值；

（3）是否存在定圆，使得直线l绕原点转动时，AM恒与该定圆相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1，把点（1，1）与代入椭圆方程可得

，解得．

故椭圆方程为．

（2）根据条件|MA|=|MB|，可知M在线段AB的垂直平分线上，

同时A，B关于原点对称．

若A，B在椭圆的短轴顶点上，则点M在椭圆的长轴顶点上．

这时===2．

若A，B，M不是椭圆的顶点，

不妨设，

代入椭圆方程得，

解得，

所以．

同时可得|OM|2==，

∴===2

综上可知：不论A，B位置如何，总有=2．

（3）根据对称性，如果圆存在，则圆心在坐标原点，

根据（2）当A，B，M不在椭圆的顶点上时，

不妨设，

则直线AM的方程为，

化为一般式为，

原点O到直线AM的距离为

由（2）可得，代入上式化简可得d=1．

又A，B，M落在椭圆的顶点上时，可得原点到AM的距离

综上，不论直线l如何转动，原点到直线AM的距离始终为1，

∴存在定圆x2+y2=1，使得直线l绕原点转动时，AM恒与该圆相切．

解析

解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1，把点（1，1）与代入椭圆方程可得

，解得．

故椭圆方程为．

（2）根据条件|MA|=|MB|，可知M在线段AB的垂直平分线上，

同时A，B关于原点对称．

若A，B在椭圆的短轴顶点上，则点M在椭圆的长轴顶点上．

这时===2．

若A，B，M不是椭圆的顶点，

不妨设，

代入椭圆方程得，

解得，

所以．

同时可得|OM|2==，

∴===2

综上可知：不论A，B位置如何，总有=2．

（3）根据对称性，如果圆存在，则圆心在坐标原点，

根据（2）当A，B，M不在椭圆的顶点上时，

不妨设，

则直线AM的方程为，

化为一般式为，

原点O到直线AM的距离为

由（2）可得，代入上式化简可得d=1．

又A，B，M落在椭圆的顶点上时，可得原点到AM的距离

综上，不论直线l如何转动，原点到直线AM的距离始终为1，

∴存在定圆x2+y2=1，使得直线l绕原点转动时，AM恒与该圆相切．

1

题型：填空题

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填空题

已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点．则：（I） y1 y2=______；（Ⅱ）三角形ABF面积的最小值是______．

正确答案

-8

解析

解：根据题意，抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，

设AB：my=x-2，（k≠0），联立化为y2-4my-8=0，

∵直线与抛物线有两个不同的交点，∴△=16m2+32＞0．

∴y1+y2=4m，y1y2=-8．

S△ABF=×1×|y1-y2|，

∵|y1-y2|=，当且仅当m=0时取等号．

∴=2．

故答案分别为-8，．

1

题型：填空题

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填空题

直线x-my+2=0与抛物线y=有且只有一个公共点，则m=______．

正确答案

0或-

解析

解：由得m2y2-（4m+4）y+4=0，

（1）当m=0时，-4y+4=0，解得y=1，此时交点为（-2，1），直线与抛物线只有一个公共点；

（2）当m≠0时，由△=（4m+4）2-16m2=0，得m=-，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；

综上，m=0或-．

故答案为：0或-．

1

题型：单选题

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单选题

直线y=x与椭圆=1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：由题意，∵直线y=x与椭圆=1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点

∴（c，c）满足椭圆=1

∴

∴a2c2+（a2-c2）c2=a2（a2-c2）

∴e4-3e2+1=0

∴

∵0＜e＜1

∴

故选A

1

题型：单选题

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单选题

已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且y=x2}，B={（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为（　　）

A无数个

B3

C2

D1

正确答案

C

解析

解：由题意A∩B的元素即为y=x2和x+y=1的交点个数，

联立消y并整理可得x2+x-1=0，

∵△=12-4×1×（-1）=5＞0，

∴方程组有2组解，即A∩B的元素个数为2

故选：C

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