热门试卷

解：（1）设椭圆方程为，

则由题意解得

∴椭圆方程为．

（2）当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0）．

当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2．

∴l1的方程为y=m1（x+1），l2的方程为y=m2（x-1）．

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

联立，得到，

∴，．

同理，．（*）

∵=，，，．

又满足k1+k2=k3+k4．

∴=2m2-，

把（*）代入上式化为：-．（m1≠m2）．

化为m1m2=-2．

设点P（x，y），则，（x≠±1）

化为．

由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0）也满足，

∴点P在椭圆上，则存在点M、N其坐标分别为（0，-1）、（0，1），使得|PM|+|PN|=为定值．

解：（1）∵，∴可设双曲线的方程x2-y2=λ

∵双曲线过点P（4，-），∴16-10=λ，即λ=6

∴双曲线的方程x2-y2=6

（2）由（1）知，双曲线中a=b=

∴，∴，

∴|F1F2|=4

∵点M（3，m）在双曲线上，∴9-m2=6，∴|m|=

∴△F1MF2的面积为S=|F1F2|•|m|=6

即△F1MF2的面积为6．

解：（1）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则椭圆的c=1，

由e==．，可得a=2，

又b==，

即有椭圆的方程为+=1；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

y=kx+m代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-3）=0，

△=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，可得m2＜3+4k2，

x1+x2=-，x1x2=，

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2

=，

由kOA•kOB=-=-，即y1y2=-x1x2，

即=-•，

化简可得2m2=3+4k2，满足△＞0，

由弦长公式可得|AB|=|x1-x2|=•

=•=，

又O到直线l的距离为d=，

则S△ABO=d•|AB|=•=

==．

故△AOB的面积为定值．

解：（Ⅰ）由已知，得，解得：，

∴b2=a2-c2=4-3=1．

故椭圆Γ的方程为；

（Ⅱ）假设满足条件的圆存在，其方程为x2+y2=r2（0＜r＜1）．

当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，

由，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

，①

∵，

∴x1x2+y1y2=0，

又y1=kx1+t，y2=kx2+t，

∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，

即（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0．     ②

将①代入②，得

，

即t2=（1+k2）．

∵直线PQ与圆x2+y2=r2相切，

∴r==∈（0，1），

∴存在圆x2+y2=满足条件．

当直线PQ的斜率不存在时，易得=，

代入椭圆Γ的方程，得=，满足．

综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件．