- 直线与圆锥曲线
- 共2643题
设椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆交于A、B两点，若以AB为直径的圆同时被直线l1：10x-5y-21=0与l2：10x-15y-33=0平分，求直线l的方程．
正确答案
解：（1）设椭圆的半焦距为c，则根据题意，
得 
解得
∴b=4，
∴
所以椭圆的标准方程为：
（2）设AB的中点为M（x，y），则
∴
∴M（
设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，
将A、B点的坐标代人椭圆的标准方程，得
∴
两式相减，得
∴
又∵AB的中点为M（
∴x1+x2=3，y1+y2=-
∴
∴
即直线l的斜率为
∴直线l的方程为：y+
即4x-5y-12=0．
∴直线l的方程为4x-5y-12=0．
解析
解：（1）设椭圆的半焦距为c，则根据题意，
得
解得
∴b=4，
∴
所以椭圆的标准方程为：
（2）设AB的中点为M（x，y），则
∴
∴M（
设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，
将A、B点的坐标代人椭圆的标准方程，得
∴
两式相减，得
∴
又∵AB的中点为M（
∴x1+x2=3，y1+y2=-
∴
∴
即直线l的斜率为
∴直线l的方程为：y+
即4x-5y-12=0．
∴直线l的方程为4x-5y-12=0．
已知过点P（1，-2），倾斜角为
（1）m取何值时，直线l和抛物线交于两点？
（2）m取何值时，直线l被抛物线截下的线段长为
正确答案
解：（1）由已知可得直线l：y+2=
联立
因为有两个交点，所以
解得m＞
（2）设直线l交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
则x1+x2=
则|AB|=
解得，m=3．
解析
解：（1）由已知可得直线l：y+2=
联立
因为有两个交点，所以
解得m＞
（2）设直线l交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
则x1+x2=
则|AB|=
解得，m=3．
已知点M（0，-1），直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2（m，a∈R）交于A、B两点．
（1）当m=0时，有
（2）当实数a为何值时，对任意m∈R，都有
（3）设动点P满足
正确答案
解：（1）由题意，直线方程为y=1，代入曲线C：ax2+y2=2可得
∵
∴曲线C的方程为3x2+y2=2
（2）将直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2联立，化简得（a+m2）x2+2mx-1=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=-2
∴可有3a-1=0，∴
（3）由（2）知
设P（x，y），则（x，y+1）=（x1+x2，y1+y2）
∴
∴|OP|=
令m2-2=t（t≥-2），∴|OP|=
解析
解：（1）由题意，直线方程为y=1，代入曲线C：ax2+y2=2可得
∵
∴曲线C的方程为3x2+y2=2
（2）将直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2联立，化简得（a+m2）x2+2mx-1=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=-2
∴可有3a-1=0，∴
（3）由（2）知
设P（x，y），则（x，y+1）=（x1+x2，y1+y2）
∴
∴|OP|=
令m2-2=t（t≥-2），∴|OP|=
设椭圆
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得
正确答案
解：（Ⅰ）当点A为椭圆短轴端点时△AF1F2的面试最大．
此时a=2c，离心率
（Ⅱ）∵
∴
可设b2=3ta2=4t，
∴椭圆的方程为3x2+4y2-12t=0．
由
∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，
∴△=0，即64k2m2-4（3+4m2）（4m2-12t）=0．
整理得m2=3t+4k2t．
设P（x1，y1），则有
∴P（
又M（1，0），Q（4，4k+m），
若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，
∴
整理得3+4k2=m2，
∴3+4k2=3t+4k2t恒成立，故t=1，
所求椭圆方程为
解析
解：（Ⅰ）当点A为椭圆短轴端点时△AF1F2的面试最大．
此时a=2c，离心率
（Ⅱ）∵
∴
可设b2=3ta2=4t，
∴椭圆的方程为3x2+4y2-12t=0．
由
∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，
∴△=0，即64k2m2-4（3+4m2）（4m2-12t）=0．
整理得m2=3t+4k2t．
设P（x1，y1），则有
∴P（
又M（1，0），Q（4，4k+m），
若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，
∴
整理得3+4k2=m2，
∴3+4k2=3t+4k2t恒成立，故t=1，
所求椭圆方程为
已知抛物线C：y2=4x，直线l过定点M（a，0），a＞0且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB为锐角，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：由题意设直线l的方程为x=ty+a，
联立
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2=4t，y1y2=-4a，
=-4at2+4at2+a2=a2．
由
解得：a＞4．
故选：B．
已知直线l：y=ax+1-a（a∈R），若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出的三条曲线方程：
①y=-2|x-1|；
②（x-1）2+（y-1）2=1；
③x2+3y2=4．
其中直线l的“绝对曲线”有______．（填写全部正确选项的序号）
正确答案
②③
解析
解：由y=ax+1-a=a（x-1）+1，可知直线l过点A（1，1）．
对于①，y=-2|x-1|=
所以直线l不会与曲线y=-2|x-1|有两个交点，不是直线l的“绝对曲线”；
对于②，（x-1）2+（y-1）2=1是以A为圆心，半径为1的圆，
所以直线l与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在a=±2，使得圆（x-1）2+（y-1）2=1与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|．
所以圆（x-1）2+（y-1）2=1是直线l的“绝对曲线”；
对于③，将y=ax+1-a代入x2+3y2=4，
得（3a2+1）x2+6a（1-a）x+3（1-a）2-4=0．
若直线l被椭圆截得的线段长度是|a|，
则
=
=
化简得
令f（a）=
f（1）=
所以函数f（a）在（1，3）上存在零点，即方程
而直线过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时满足直线与椭圆相交．
故曲线x2+3y2=4是直线的“绝对曲线”．
故答案为②③．
设抛物线y2=8x的焦点是F，有倾斜角为45°的弦AB，|AB|=8
正确答案
解：设AB方程为y=x+b
由
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8-2b，x1•x2=b2．
∴|AB|=
=
=
解得：b=-3．
∴直线方程为y=x-3．即：x-y-3=0
∴焦点F（2，0）到x-y-3=0的距离为d=
∴S△FAB=
解析
解：设AB方程为y=x+b
由
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8-2b，x1•x2=b2．
∴|AB|=
=
=
解得：b=-3．
∴直线方程为y=x-3．即：x-y-3=0
∴焦点F（2，0）到x-y-3=0的距离为d=
∴S△FAB=
（Ⅰ）求点A，B的坐标；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．
正确答案
解：（I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x-t）（k≠0），联立
化为x2-4kx+4kt=0，
∵△=16k2-16kt=0，解得k=t，
∴x=2t，∴A（2t，t2）．
圆C2的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B与O关于直线PD对称，
∴
∴B
（II）由（I）可得：kAB=
∴点P到直线AB的距离d=
又|AB|=
∴S△PAB=
解析
解：（I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x-t）（k≠0），联立
化为x2-4kx+4kt=0，
∵△=16k2-16kt=0，解得k=t，
∴x=2t，∴A（2t，t2）．
圆C2的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B与O关于直线PD对称，
∴
∴B
（II）由（I）可得：kAB=
∴点P到直线AB的距离d=
又|AB|=
∴S△PAB=
已知双曲线
正确答案
解析
解：设Q、P到l 的距离分别为d1，d2，垂足分别为 M，N，
则PN∥MQ，
∴
又由双曲线第二定义可知
∴
∴
∴RF是∠PFQ的角平分线，
∴∠PFR=∠QFR
故选B．
已知椭圆
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P（x0，y0）在椭圆C的外部，过P做椭圆的两条切线PM、PN，其中M、N为切点，则MN的方程为
正确答案
解：（1）设椭圆方程为
∵
∴
∴
∴椭圆方程为
（2）设P（x0，y0），则x0+y0-4=0，即x0=4-y0，
∵x+y-4=0与椭圆无交点，∴P在椭圆C的外部，
∴MN所在直线方程为
即x0x+2y0y-8=0，
设所求距离为d，且F（2，0），
则
=
∴当y0=4时，dmin=1．
解析
解：（1）设椭圆方程为
∵
∴
∴
∴椭圆方程为
（2）设P（x0，y0），则x0+y0-4=0，即x0=4-y0，
∵x+y-4=0与椭圆无交点，∴P在椭圆C的外部，
∴MN所在直线方程为
即x0x+2y0y-8=0，
设所求距离为d，且F（2，0），
则
=
∴当y0=4时，dmin=1．
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