热门试卷

解：（1）右焦点为F（1，0），可得

c=1，左焦点F‘为（-1，0），

由椭圆的定义可得2a=|DF|+|DF'|

=+=4，

即有a=2，b==，

则椭圆的方程为+=1；

（2）当BC垂直于x轴，即有B（1，-），C（1，），

设P（m，s），Q（m，t），A（2，0），F（1，0），

由B，A，P共线，可得kAB=kAP，

即为=，即有s=（m-2），

即有P（m，（m-2）），=（m-1，（m-2）），

同样可得Q（m，-（m-2）），=（m-1，-（m-2）），

FP⊥FQ即为=0，

即有（m-1）2-（m-2）2=0，

解得m=4；

当直线CB与x轴不垂直，则设直线CB的斜率为k，（k≠0）

∴直线CB的方程为y=k（x-1），k≠0，

又设B（x1，y1），C（x2，y2），P（m，y3），Q（m，y4），

联立，消y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

∴y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=，

又∵A、B、P三点共线，

∴y3=（m-2）•，同理y4=（m-2）•，

∴=（m-1，（m-2）•），=（m-1，（m-2）•），

由于=0，即为=（m-1）2+（m-2）2•=0，

分别代入x1+x2，x1x2，y1y2，可得（m-1）2-（m-2）2=0，

解得m=4．

综上可得m=4．

解：（1）由题意知，抛物线焦点在x轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），

将交点代入得p=4，故抛物线方程为y2=8x，它的准线方程为x=-2，

可得双曲线的一个焦点坐标为（2，0），则c=2．又点也在双曲线上，因此有．

又a2+b2=4，因此可以解得a2=1，b2=3，因此，双曲线的方程为．

（2）将直线y=ax+1代入双曲线的方程可得 （3-a2）2 x2-2ax-4=0，

由 求得-2＜a＜2，且 a≠±．

解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，2），则，，．

由，，可得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2），

∴4kl=4，解得kl=1．

由y2=4x得焦点F（1，0）．∴直线l的方程为：y=x-1．

（II）设直线l的方程为y=k（x-1），联立化为k2x2-（4+2k2）x+k2=0，

∴．

∵|AB|=x1+x2+p=，解得k=．

∴直线l的方程为．

解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为

，．其中a＞m＞n＞0，

＞1．

（Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则

，

，

所以．

在C1和C2的方程中分别令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=-m，

于是．

若，则，化简得λ2-2λ-1=0，由λ＞1，解得．

故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则．

（Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，

不妨设直线l：y=kx（k＞0），

点M（-a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则

，所以d1=d2．

又，所以，即|BD|=λ|AB|．

由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|-|AB|=（λ-1）|AB|，

|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．

将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得

根据对称性可知xC=-xB，xD=-xA，于是

②

从而由①和②可得

③

令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．

因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当，

等价于，由λ＞1，解得，

即，由λ＞1，解得，所以

当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；

当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．

解：（Ⅰ）如图所示，

∵抛物线C：x2=4y，

∴p=2，

∴抛物线的准线方程为y=-1；…（4分）

（Ⅱ）不妨设点A在y轴的左侧，则M（-，-1），

设l2的斜率为m，

∴它的直线方程为y+1=m（x+），

与抛物线方程联立得，

消去y得，x2-4mx+4-=0，…（6分）

∴△=16m2-4（4-）=0，

解得=＜0；…（8分）

∴B（2m，m2），且m＞1；

A（4k，4k2），N（-，0），ON=|-|=m，

∴△MON的面积为S△MON=m；…（10分）

又点B到l1的距离为d=，

OA=4|k|，

∴△AOB的面积为

S△AOB=OA•d=2|k||2km-m2|=；…（12分）

∴S△AOB：S△MON=；

令1-m2=t，（t＜0），

则S△AOB：S△MON=8-＞4．…（14分）

∴S△AOB：S△MON的取值范围是（4，+∞）．