直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为______．

正确答案

[1，+∞）

解析

解：如图所示，可知A，B，

设C（m，m2），，．

∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，

∴=．

化为m2-a+（m2-a）2=0．

∵m，∴m2=a-1≥0，解得a≥1．

∴a 的取值范围为[1，+∞）．

故答案为[1，+∞）．

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题型：填空题

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填空题

方的曲线即为函y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：

①x在R上单调递减；

②函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；

③函数y=f（x）的值域是R；

④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程确定的曲线．

其中所有正确的命题序号是______．

正确答案

①②③

解析

解：对于①，根据题意画出方程的曲线，即为函数y=f（x）的图象，如图所示；

轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．

从图形中可以看出，关于函数y=f（x）的有下列说法：

①f（x）在R上单调递减，∴①正确；

②由于4f（x）+3x=0即f（x）=-x，从而图形上看，函数f（x）的图象与直线y=-x没有交点，

∴函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点，②正确；

③函数y=f（x）的值域是R，∴③正确；

④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，

则函数y=g（x）的图象是方程+=1确定的曲线，∴④错误．

综上，以上正确的命题是①②③．

故答案为：①②③．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：=1（a＞2）上一点P到它的两个焦点F1（左），F2 （右）的距离的和是6．

（1）求椭圆C的离心率的值；

（2）若PF2⊥x轴，且p在y轴上的射影为点Q，求点Q的坐标．

正确答案

解：（1）根据椭圆的定义得2a=6，a=3；

∴c=；

∴；

即椭圆的离心率是；

（2）；

∴x=带入椭圆方程得，y=；

所以Q（0，）．

解析

解：（1）根据椭圆的定义得2a=6，a=3；

∴c=；

∴；

即椭圆的离心率是；

（2）；

∴x=带入椭圆方程得，y=；

所以Q（0，）．

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题型：单选题

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单选题

方程组的解集为（　　）

A（3，-2）

B（-3，2）

C{（-3，2）}

D{（3，-2）}

正确答案

D

解析

解：由，得2x=6，x=3．

把x=3代入x+y=1得：y=-2．

∴方程组的解集为{（x，y）|}．

即为{（3，-2）}．

故选：D．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线x2=4y的焦点，且离心率等于，直线l与椭圆C交于M，N两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）椭圆C的右焦点F是否可以为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）抛物线x2=4y中p=2，焦点（1，0）．

设椭圆C的方程：，由题意知b=1

又，即，

∴a2=2，

∴椭圆C的方程为（4分）

（Ⅱ）假设存在直线l使得F（1，0）是△BMN的垂心，则直线BF的斜率为-1，

从而直线l的斜率为1．

可设直线l的方程为y=x+m，代入，

并整理得3x2+4mx+2（m2-1）=0．

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则（6分）

∴=x1+x2+m-x1x2-（x1+m）（x2+m）

==，

解得．

当m=1时点B为直线l与椭圆的一个交点，不合题意；

当时，经检验知直线l与椭圆相交两点，且满足BF⊥MN符合题意；

综上得当且仅当直线l的方程为时，椭圆C的右焦点F是可以为△BMN的垂心．

解析

解：（Ⅰ）抛物线x2=4y中p=2，焦点（1，0）．

设椭圆C的方程：，由题意知b=1

又，即，

∴a2=2，

∴椭圆C的方程为（4分）

（Ⅱ）假设存在直线l使得F（1，0）是△BMN的垂心，则直线BF的斜率为-1，

从而直线l的斜率为1．

可设直线l的方程为y=x+m，代入，

并整理得3x2+4mx+2（m2-1）=0．

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则（6分）

∴=x1+x2+m-x1x2-（x1+m）（x2+m）

==，

解得．

当m=1时点B为直线l与椭圆的一个交点，不合题意；

当时，经检验知直线l与椭圆相交两点，且满足BF⊥MN符合题意；

综上得当且仅当直线l的方程为时，椭圆C的右焦点F是可以为△BMN的垂心．

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线C顶点在原点，焦点F在x正半轴上，抛物线C上点（1，t）到其准线距离为．

（Ⅰ）求抛物线C方程．

（Ⅱ）如图：若斜率为1的直线l交抛物线C于不同两点P，Q，在x轴上有两点M，N，且PF=MF，QF=FN，直线MP，NQ交于点T，连结PF，QF，TF，记 S1=S△TFP，S2=S△QFT，S3=S△PQT．

（1）证明：直线PM与抛物线C相切．

（2）求的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）解：∵抛物线C上点（1，t）到其准线距离为，

∴+1=，

∴2p=1，

∴抛物线C方程为y2=x；

（Ⅱ）（1）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意及抛物线的定义知：M（-x1，0），N（-x2，0），

∴kPM==

∴直线PM：y-y1=（x-x1），即x-2y1y+y12=0

代入y2=x可得y2-2y1y+y12=0

∵△=0

∴直线PM与抛物线C相切；

（2）解：，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（-x1，0），N（-x2，0）

设PQ：y=x+m，代入y2=x，得，，

∴，

同理，

于是

设1-8m+16m2=t，∵，∴t＞0，

∴，

∴

解析

（Ⅰ）解：∵抛物线C上点（1，t）到其准线距离为，

∴+1=，

∴2p=1，

∴抛物线C方程为y2=x；

（Ⅱ）（1）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意及抛物线的定义知：M（-x1，0），N（-x2，0），

∴kPM==

∴直线PM：y-y1=（x-x1），即x-2y1y+y12=0

代入y2=x可得y2-2y1y+y12=0

∵△=0

∴直线PM与抛物线C相切；

（2）解：，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（-x1，0），N（-x2，0）

设PQ：y=x+m，代入y2=x，得，，

∴，

同理，

于是

设1-8m+16m2=t，∵，∴t＞0，

∴，

∴

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题型：填空题

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填空题

若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点，则实数b的取值范围是______．

正确答案

[-1，1]

解析

解：由于曲线|y|=2x+1 的图象关于x轴对称，|y|＞1，

且图象过定点（0，2），（0，-2），如图所示：

故当-1≤b≤1时，曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点，

故答案为[-1，1]．

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题型：简答题

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简答题

如图，曲线C1是以原点O为中心、F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点，曲线C1的离心率为，若，．

（Ⅰ）求曲线C1和C2所在的椭圆和抛物线方程；

（Ⅱ）过F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1、C2依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）设椭圆方程为，则2a=，得a=3

所以椭圆方程为，抛物线方程为y2=4x．

（Ⅱ）设B（x1，y1），E（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），直线y=k（x-1），代入得：，即（8+9k2）y2+16ky-64k2=0

则y1+y2=-，y1y2=-

同理，y=k（x-1），代入y2=4x得，ky2-4y-4k=0

则y3+y4=，y3y4=-4

∴=•=3

解析

解：（Ⅰ）设椭圆方程为，则2a=，得a=3

所以椭圆方程为，抛物线方程为y2=4x．

（Ⅱ）设B（x1，y1），E（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），直线y=k（x-1），代入得：，即（8+9k2）y2+16ky-64k2=0

则y1+y2=-，y1y2=-

同理，y=k（x-1），代入y2=4x得，ky2-4y-4k=0

则y3+y4=，y3y4=-4

∴=•=3

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=8x的准线上，则双曲线的方程为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=-2，

则由题意知，点F（-2，0）是双曲线的左焦点，

所以a2+b2=c2=4，

又双曲线的一条渐近线方程是y=x，

所以，

解得a2=1，b2=3，

所以双曲线的方程为．

故选A．

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC的两顶点坐标A（-1，0），B（1，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=1（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C的轨迹为曲线M．

（I）求曲线M的方程；

（Ⅱ）设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．

正确答案

解：（I）由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4＞|AB|，

所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x轴的交点），

所以a=2，c=1，

所以b=，

所以曲线M：（y≠0）为所求．---------------（4分）

（Ⅱ）注意到直线BC的斜率不为0，且过定点B（1，0），

设直线BC的方程为x=my+1，C（x1，y1），D（x2，y2），

与椭圆方程联立，消x得（4+3m2）y2+6my-9=0，

所以y1+y2=-，y1y2=--------------------------------------（8分）

因为=（my1+2，y1），=（my2+2，y2），

所以=（my1+2）（my2+2）+y1y2=

注意到点A在以CD为直径的圆上，所以=0，即m=±，-----（11分）

所以直线BC的方程或为所求．------（12分）

解析

解：（I）由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4＞|AB|，

所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x轴的交点），

所以a=2，c=1，

所以b=，

所以曲线M：（y≠0）为所求．---------------（4分）

（Ⅱ）注意到直线BC的斜率不为0，且过定点B（1，0），

设直线BC的方程为x=my+1，C（x1，y1），D（x2，y2），

与椭圆方程联立，消x得（4+3m2）y2+6my-9=0，

所以y1+y2=-，y1y2=--------------------------------------（8分）

因为=（my1+2，y1），=（my2+2，y2），

所以=（my1+2）（my2+2）+y1y2=

注意到点A在以CD为直径的圆上，所以=0，即m=±，-----（11分）

所以直线BC的方程或为所求．------（12分）

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