热门试卷

解：（1）依题意，c=，a2=b2+3，…2分

由，解得b2=1（b2=，不合，舍去），从而a2=4．

故所求椭圆方程为：，离心率e=．…5分

（2）①设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（-x1，-y1），

于是k1k2===．…8分

②由①知，k3k4=k1k2=，故x1x2=-4y1y2．

所以（x1x2）2=（-4y1y2）2，即（x1x2）2==，

所以，=4．…11分

又2==，故．

所以，OB2+OC2==5．…14分

解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．

（2）设直线，分别交曲线C于A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足消去y并整理得，

故．

以线段AB为直径的圆过能否过坐标原点，则，即x1x2+y1y2=0．

而，

于是，化简得-4k2+11=0，所以

解：联立直线y=k（x-1）和双曲线：x2-y2=4，消去y得，（1-k2）x2+2k2x-k2-4=0，

判别式△=4k4+4（1-k2）（k2+4）=4（4-3k2）．

（1）1-k2≠0，且△＞0，解得-＜k＜且k≠±1，

则k的取值范围是：（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）；

（2）1-k2=0或1-k2≠0，且△=0，解得k=±1，或k=±，则k的取值范围是k=±1，或k=±；

（3）1-k2≠0，且△＜0，解得k＞或k＜-，则k的取值范围是（-∞，-）∪（，+∞）．

解：（1）∵是平面上的两个定点，动点P满足．

依椭圆的定义知，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，

且，

所以动点P的轨迹方程为．

（2）如果圆的切线斜率不存在，则AB方程为，此时，．

如果圆的切线斜率存在，设圆的切线方程为y=kx+m，

代入椭圆方程得：（1+2k2）x2+4mkx+2m2-6=0①

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程①的解，

所以②

因为x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=，

把②式代入得：③

又因为直线AB与圆x2+y2=2相切，

所以，即m2=2（1+k2），

代入③式得x1x2+y1y2=0，

因此OA⊥OB，

所以．

由m2=2（1+k2）得，

因为，所以（当且仅当k=0时取等号）．

k≠0时，，

因此|AB|≤3（当且仅当时取等号）．

综上，，所以．

解：（1）解：直线的参数方程为     （s 为参数），曲线 可以化为  x2-y2=4．

将直线的参数方程代入上式，得  ．

设A、B对应的参数分别为 s1，s2，∴，s1•s2=10．

∴AB=|s1-s2|==2 ．

（2）解：由柯西不等式9=（12+22+22）•（x2+y2+z2）≥（1•x+2•y+2•z）2

即x+2y+2z≤3，当且仅当

即 ，，时，x+2y+2z取得最大值3．

∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x2+y2+z2=1的一切实数x，y，z恒成立，

只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，∴a≥4或∴a≤-2．

即实数的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞）．

故答案为：a≥4或a≤-2．

解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），

由椭圆短轴长为4得2b=4，解得b=2，

由离心率为，得，即a2=5c2=5（a2-4），解得a2=5，

所以椭圆的标准方程为；

（2）由得9x2+10x-15=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，

所以|MN|=|x1-x2|===；

（Ⅰ）解：由题意可得，解得a=，b=1． 

故椭圆C的方程为+y2=1． …5分

（Ⅱ）证明：椭圆的右焦点F（1，0），

由  消y，并整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2）

则有△=（4km）2-4（2k2+1）（2m2-2）=8（2k2-m2+1）＞0，

且x1+x2=-，x1x2=

因为直线MA与NA 关于 x轴对称，所以这两条直线的斜率互为相反数，

则有kMA+kNA=0，即+=0，

则有2kx1x2+（m-k）（x1+x2）-2m=0，…11分

所以2k•-（m-k）•-2m=0，

整理得m=-2k，…13分

此时k满足＜k＜ 且k≠0，直线l的方程是y=k（x-2），

故直线l过定点，且该定点为（2，0）． …14分